38° 37′ 28.81″ N, 90° 11′ 5.82″ W
Der Gateway Arch in St. Louis, Missouri, ist mit 192 Metern das höchste Denkmal Amerikas (Abbildung 103.1). Es wurde 1967 eröffnet. Die Aussicht von dort oben ist spektakulär. Die Aussichtplattform ist mit kleinen 5-Personen-Trams zu erreichen, die durch den Bogen fahren. Oben angelangt, können Sie die perfekte Konstruktion des Bogens bewundern.
Obwohl der Bogen von Menschen gebaut wurde, hat er etwas Natürliches an sich, weil die zugrundeliegende Kurve eine Form ist, die sich einfach durch die Erdanziehungskraft ergibt. Nehmen Sie je ein Ende eines kurzen Seils (oder einer Schnur oder eines Halsbandes mit einer gleichmäßigen Breite) in eine Hand und halten Sie dabei beide Hände auf gleicher Höhe. Das Seil bildet wegen der Schwerkraft durch sein eigenes Gewicht eine anmutige Kurve. Diese Form wird Kettenkurve, Kettenlinie oder auch Seilkurve genannt. Der lateinische Ausdruck lautet Katanoide. Das Gewicht des Seils wird über die Zugspannung durch das Seil selbst übertragen.
Katenoide
Ein zwischen zwei Telefonanschlüssen hängendes Kabel hat die Form einer Katenoide. Eine solche Kurve erinnert ein wenig an eine Parabel, doch das ist sie nicht – tatsächlich handelt es sich um eine hyperbolische Cosinus-Funktion. Was folgt ist wahrscheinlich das schwerste Stück Mathematik in diesem Buch. Es handelt sich um eine ganze Reihe schwieriger Berechnungen, aber versuchen Sie, trotzdem zu folgen!
Stellen Sie sich ein Kabel vor, das aufgrund seiner eigenen Schwerkraft durchhängt, und ziehen Sie eine vertikale Y-Achse durch den tiefsten Punkt des Kabels. Diesen Punkt bezeichnen wir als A. Wählen Sie einen weiteren Punkt zur Rechten des Kabels und nennen Sie ihn B. Die Linie vom Ursprung O zum Punkt B ergibt einen Winkel a mit der X-Achse. (Siehe Abbildung 103.2.)
Drei Kräfte wirken auf das Segment AB ein – es gibt eine horizontale Spannung T am Punkt A, die Spannung F entlang des Kabels am Punkt B und das nach unten wirkende Gewicht W des Segments AB. Da sich das Kabel nicht bewegt, sind diese drei Kräfte im Gleichgewicht und können in einem Kräftedreieck dargestellt werden (Abbildung 103.3).
Die Trigonometrie lehrt uns Folgendes: F sin a = W und F cos a = T. Das Gewicht des Segments kann über die lineare Dichte des Kabels (nennen wir sie D) multipliziert mit der Segmentlänge (nennen wir sie I) errechnet werden: W = Dl. Dividiert man die beiden trigonometrischen Gleichungen, dann eliminiert man die Kraft F und drückt den Winkel (der die Neigung des Kabels bestimmt) über das Gewicht des Kabels und die horizontale Zugspannung aus (Gleichung 103.1).
Die Koordinaten von B lauten (x, y) und die Trigonometrie besagt, dass dx/dl = cos a und dy/dl = sin a sind. Differenziert man die obige Gleichung, dann ergibt sich dl/da = T/D sec2 a. Somit lassen sich all diese Sachverhalte über die Differenzierung von a (siehe Gleichung 103.2) ausdrücken.
Nun integriert man diese beiden Gleichungen, um Gleichungen für x und y (Gleichung 103.3) zu erhalten.
Tatsächlich sind beide Konstanten 0. c0 ist 0, weil der Winkel a 0 ist, wenn x 0 ist (siehe das Diagramm in Abbildung 103.2). c1 kann zu 0 werden, indem man die X-Achse an T/D positioniert.
Stellen Sie die Gleichung nun nach x um und potenzieren Sie sie mit e. Eine Umkehrung der resultierenden Gleichung und ein wenig Trigonometrie (erinnern Sie sich daran, dass tan2 a + 1 = sec2 a ist) liefern uns die beiden Exponentialgleichungen in Gleichung 103.4.
Addieren sie diese zusammen und Sie erhalten die Gleichung für y basierend auf x, was uns die Form der Kurve liefert. (siehe Gleichung 103.5).
Wenn Sie nun eine solche Kettenlinie umdrehen und auf einem festen Untergrund bauen, entsteht ein katenoidförmiger Bogen. Gateway Arch ist hierfür ein schönes Beispiel, doch katenoide Bögen sind weit verbreitet. Sie werden seit der Antike gebaut, weil sie stabil sind – das Gewicht der Bogenkomponenten wird über die Schenkel des Bogens nach unten übertragen.
Gateway Arch hat die Form einer Kettenlinie und eine Metallhaut, die aus Metallstücken in Form gleichschenkliger Dreiecke besteht. Der Schwerpunkt jedes Dreiecks ist an der erstrebten Kurve ausgerichtet. Die Dreiecke beginnen unten mit einer Seitenbreite von 16 Metern, die sich dann auf 5 Meter an der Spitze verjüngen. Diese Verjüngung erklärt, warum die Trams so klein sind – doch Sie sollten dankbar sein, dass sie überhaupt vorhanden sind, denn der ursprüngliche Plan sah vor, die Besucher über 1076 Stufen nach oben laufen zu lassen.
Die Außenhaut des Bogens besteht aus Platten rostfreien Stahls, die 90 Meter Stahlbeton bedecken. Die Form des Objekts wurde dann mittels einer über diesen Grundelementen angebrachten Stahlkonstruktion perfektioniert. Aufgrund der Bogenform sind die Trams an Kardanringen aufgehängt, damit man auf dem Weg nach oben immer gerade sitzt.
Der Bogen ist genauso so breit wie hoch und wiegt über 15600 Tonnen. Bei Wind schwankt er um bis zu 50 Zentimeter in jede Richtung. An sehr windigen Tagen ist die Aussichtsplattform daher geschlossen.
Am Bogen befindet sich ein Besucherzentrum, in dem der Bau und auch ein wenig der dieser Form zugrundeliegenden Mathematik erläutert werden. Gleich daneben liegt das Museum of Westward Expansion, in der die Expedition von Lewis und Clark, die die Besiedelung des amerikanischen Westens ermöglichte, veranschaulicht wird. Auch der Louisiana Purchase und die Debatte zur Sklaverei sind hier dokumentiert. Der Bogen wird manchmal auch Tor zum Westen genannt.
Gateway Arch ist Teil des Jefferson National Expansion Memorial, ein 37 Hektar großer Parks am Mississippi. Wenn Sie sich den Bogen und die dazugehörigen Museen angesehen haben, ist der Park daher der ideale Ort für einen Spaziergang, eine Radtour oder ein Abendessen. Sie können auch einen Rundflug über St. Louis mit dem Hubschrauber unternehmen und sich den Bogen von allen Seiten aus der Luft ansehen.
Besucherinformationen (und anders als im folgenden Kasten keinerlei Mathematik) finden Sie unter http://www.gatewayarch.com/.