Die über 1000 Jahre alte Stadt Göttingen kennt man wohl am ehesten wegen ihrer berühmten Universität. Die Georg-August-Universität Göttingen wurde 1734 gegründet und konnte einige der größten Wissenschaftler Europas begrüßen (und auch ausgewählte Könige und Politiker wie Otto von Bismarck). Leider wird Göttingen nur selten als eine von Europas Top-Universitäten genannt (diese Ehre heimsen Oxford, Cambridge und andere ein), obwohl hier einige der besten wissenschaftlichen Köpfe der vergangenen 300 Jahre gefördert wurden.

Die Mathematiker Wilhelm Ackermann, Carl Friedrich Gauss, Richard Dedekind, Bernhard Riemann, Felix Klein, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet und David Hilbert studierten und lehrten alle an der Georg-August-Universität. Zu den mit Göttingen verbundenen Physikern zählen Paul Dirac (Nobelpreis 1933), Max Born (Nobelpreis 1954), J. Robert Oppenheimer (siehe auch „Praktische Informationen“), Max Planck (Nobelpreis 1918), Enrico Fermi (Nobelpreis 1938), Werner Heisenberg (Nobelpreis 1932) und Wolfgang Pauli (Nobelpreis 1945). Chemiker sind ebenfalls zahlreich vertreten: Adolf Butenandt (Nobelpreis 1939), Otto Hahn (Nobelpreis 1944), Walter Haworth (Nobelpreis 1937), Gerhard Herzberg (Nobelpreis 1971), Irving Langmuir (Nobelpreis 1932) und Walther Nernst (Nobelpreis 1920). Andere Nobelpreisträger studierten oder lehrten ebenfalls hier.

Insgesamt kann sich Göttingen mit 44 Nobelpreisträgern schmücken. Es ist daher nicht weiter verwunderlich, dass die Universität Museen für Mathematik, Physik und Chemie betreibt. Dennoch beginnt man eine Tour durch Göttingen am besten bei den Toten. Auf Göttingens Stadtfriedhof gibt es mehr Gräber von Nobelpreisträgern pro Quadratmeter als überall sonst auf der Welt.

Der Friedhof liegt westlich des Stadtzentrums in einem wunderschönen, bewaldeten Gebiet, das für eine innere Einkehr wie geschaffen zu sein scheint (wie vieles in Göttingen). Wenn Sie den Friedhof von Nordwesten über die Kasseler Landstrasse betreten, ist Max Borns Grab eines der ersten auf das Sie treffen. Als Zeugnis dafür, dass es sich hier um einen Wissenschaftler handelt, wurde sein Grab mit einer Gleichung versehen: pq – qp = h/2πi.

p ist hier der Impuls und q der Ort eines Teilchens, und die Formel besagt, dass die Multiplikation dieser beiden Werte nicht kommutativ ist (siehe auch Abbildung 25.3). d.h., pq ist nicht gleich qp, anderenfalls wäre pq – qp Null. Die Formel ist ein Ausdruck der Heisenbergschen Unschärferelation, die besagt, dass es nicht möglich ist, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu beobachten.

In der Nähe befindet sich das Grab des Physikers Wilhelm Weber (er starb 1891), nach dem die SI-Einheit des magnetischen Flusses (Weber, Wb) benannt ist. Nicht weit entfernt von den beiden Physikern liegt der Chemiker Friedrich Wöhler begraben, der 1828 den Harnstoff [(NH₂)₂CO] synthetisierte und eher aus Versehen ein Pionier der organischen Chemie wurde.

Weiter im Inneren des Friedhofs, rund um die Kapelle verteilt, liegen drei Gräber von wissenschaftlichem Interesse: Dort ruhen der Chemiker Otto Wallach, der Mathematiker Felix Klein (leider ist kein Diagramm einer Kleinschen Vierergruppe auf seinem Grabstein abgebildet; eine Einführung in die Gruppentheorie finden Sie im folgenden Kasten) und Karl Schwarzschild, dessen Beitrag zur Astrophysik mit einem Globus auf seinem Grabsein gewürdigt wird.

Auf der anderen Seite des Friedhofs liegen andere Berühmtheiten nahe beieinander. Es gibt einen einfachen Stein für den Mathematiker David Hilbert, in den die Worte »Wir müssen wissen. Wir werden wissen« eingraviert sind. Von dort ist es nur ein kurzer Weg zum Grab von Max Planck, dessen Namen und Konstante Sie auf einem ähnlich einfachen Grabmahl finden.

Rechts neben Plank liegt Otto Hahn begraben, der die Kernspaltung entdeckte – ein kleines Diagramm auf seinem Grab zeigt, wie Uran ein Neutron absorbiert (siehe die Kaliumjodid und die Schilddrüse und Der Brüterreaktor). Als nächstes findet man die letzte Ruhestätte des Physikers Walther Nernst, der neben dem Chemiker Adolf Windaus begraben liegt. Dieser erhielt den Nobelpreis unter anderem dafür, dass er zeigte, wie Cholesterin in das Vitamin D3 umgewandelt wird.

Gruppentheorie

Die Gruppentheorie ist ein schönes Beispiel dafür, wie sich ein Stück scheinbar abstrakter Mathematik auch in der realen Welt als nützlich erweist. Selbst Rubiks in den 1980ern gefeierter Zauberwürfel basiert auf der Gruppentheorie.

Für Mathematiker besteht eine Gruppe aus einer Menge in Kombination mit einer Verknüpfung, die für jeweils zwei Elemente dieser Menge angewendet wird (siehe Mengenlehre und transfinite Zahlen). Wird zum Beispiel die Menge aller ganzen Zahlen (positive wie negative) als Z bezeichnet, und mit + (der normalen Addition) verknüpft, bilden sie die Gruppe (Z, +).

Um als Gruppe zu gelten, müssen die Menge und die Verknüpfung drei Regeln erfüllen: die Verknüpfung muss assoziativ sein, es muss ein neutrales Element geben, und es muss zu jedem Element der Menge ein inverses Element vorhanden sein.

Assoziativität heißt, dass die Reihenfolge der Operationen mit den Elementen der Menge keine Rolle spielt. Für die (Z, +) beispielesweise kann die Summe 2 + 3 + 4 ermittelt werden, indem man zuerst 2 + 3 berechnet, und dann 4 hinzuaddiert, oder zuerst 3 + 4 berechnet und dann 2 hinzuaddiert.

Das neutrale Element lässt jedes Element der Menge unverändert, wenn es bei der Gruppen-Verknüpfung verwendet wird. Das neutrale Element in (Z, +) ist 0, weil sich eine Zahl nicht ändert, wenn man 0 hinzuaddiert (2 + 0 bleibt 2).

Bei dem inversen Element schließlich handelt es sich um das Negativ für das einzelne Element. In der Gruppe (Z, +) verfügt jede Zahl über ein inverses Element: das inverse Element von 2 ist beispielsweise –2. In einer Gruppe muss jedes Element ein inverses Element dieses Typs aufweisen – wenn das Element und dessen inverses Element über die Verknüpfung kombiniert werden, muss das Ergebnis das neutrale Element sein (z. B. 2 + –2 = 0).

Ein Bereich, in dem die Gruppentheorie sich als nützlich erweist, ist die Symmetrie von Objekten. So ist es beispielsweise möglich, Gruppen für die Rotation (Abbildung 22.1) und Spiegelung (Abbildung 22.2) eines Quadrats zu bilden. Es gibt drei mögliche Rotationen eines Quadrats: um 90° (r₉₀), 180° (r₁₈₀), und 270° (r₂₇₀). Es gibt vier mögliche Spiegelungen: horizontal (h), vertikal (v) und an den beiden Diagonalen (d₁ und d₂).

Eine Gruppe kann nun aus dieser Menge der Symmetrien des Würfels und einem neutralen Element (i) (das sich in keiner Hinsicht auf das Quadrat auswirkt) aufgebaut werden. Alle Symmetrien können in der Menge (S) abgelegt werden, die dann i, r₉₀, r₁₈₀, r₂₇₀, h, v, d₁ und d₂ enthält.

Abbildung 22.1 Rotierte Symmetrien eines Quadrats: i, r₉₀, r₁₈₀, and r₂₇₀

Abbildung 22.2 Gespiegelte Symmetrien eines Quadrats: h, v, d₁ und d₂

Um eine Gruppe zu bilden, benötigen wir eine Operation – im Falle der Symmetrien heißt diese Operation einfach »tue dies, gefolgt von jenem«. Zum Beispiel könnte man eine Rotation um 90°, gefolgt von einer Spiegelung an der Horizontalen, mit h ← r₉₀ angeben. Das Stern-Symbol steht für diesen Gruppenoperator (»tue dies, gefolgt von jenem«), und die Gruppe kann (S, ←) geschrieben werden.

(S, ←) bildet eine Gruppe – der Operator ist assoziativ, es gibt eine neutrale Symmetrie und es ist immer möglich, eine Rotation oder Spiegelung rückgängig zu machen, um den ursprünglichen Zustand wiederherzustellen. Alle möglichen Kombinationen aus Rotationen und Spiegelungen sind in Tabelle 22.1 aufgeführt. Die Gruppentabelle zeigt, dass jedes Symmetrie-Paar eine einzelne Spiegelung oder Rotation repräsentiert.

Tabelle 22.1 Gruppentabelle für (S, ←)

←	i	r90	r180	r270	h	v	d1	d2
i	i	r90	r180	r270	h	v	d1	d2
r90	r90	r180	r270	I	d2	d1	h	v
r180	r180	r270	i	r90	v	h	d2	d1
r270	r270	i	r90	r180	d1	d2	v	h
h	h	d1	v	d2	i	r180	r90	r270
v	v	d2	h	d1	r180	i	r270	r90
d1	d1	v	d2	h	r90	r270	i	r180
d2	d2	h	d1	v	r270	r90	r180	i

Wenn Sie es bis hierhin hin geschafft haben, sind Sie entweder Mathematiker oder Sie denken: »Super, die Symmetrien eines Würfels bilden eine Gruppe. Und jetzt?«

Im richtigen Leben (d.h. nicht in den Köpfen von Mathematikern) tauchen Symmetrien in Kristallen auf. Kristalle bilden eine Vielzahl symmetrischer Formen und das Verständnis dieser Formen und der gebildeten Gruppen ermöglichen es uns, die dem Kristall zugrundeliegende Struktur zu verstehen. Anhand der Struktur, mathematisch durch die passende Gruppe beschrieben, können die Eigenschaften des Kristalls bestimmt werden.

Eine spezielle Klasse von Gruppen, die sogenannten Raumgruppen, werden genutzt, um die genaue Struktur von Kristallen basierend auf ihren Symmetrien zu bestimmen. Alle möglichen Raumgruppen (unterschiedliche Kombinationen von Symmetrien) wurden bestimmt: es gibt 230. Diese können genutzt werden, um eine beliebige Kristallstruktur allein über den Namen der Gruppe zu beschreiben.

Einfaches Tafelsalz (NaCl) bildet beispielsweise eine kristalline Struktur, die durch die Raumgruppe Fm-3m beschrieben wird. Mit der gleichen Raumgruppe werden auch andere Kristalle beschrieben, die die gleiche Struktur wie Salz aufweisen, etwa Calciumoxid (besser bekannt als ungelöschter Kalk).

Wenn Sie also das nächste Mal auf einer Party mit einem Kristallografen zusammentreffen, können Sie ihn mit Ihrem Wissen beeindrucken.

Anschließend kann man dem Grab des Physikers Max von Laue einen Besuch abstatten. Er wurde bekannt durch seine Arbeit an der Röntgenstrahlbeugung durch Kristalle. Diese wurde später sehr wichtig, um die Struktur der DNA zu entschlüsseln (siehe Replikation). Die Gruppe wird durch die Chemiker Richard Adolf Zsigmondy und Gustav Tammann vervollständigt.

Wenn Sie diese Anhäufung großer Namen von berühmten Wissenschaftlern auf dem Stadtfriedhof noch nicht gänzlich erschlagen hat, besuchen Sie einfach noch den Albanifriedhof (auch Cheltenham-Park genannt), der sich östlich des Stadtzentrums befindet. Hier liegt ein letzter großer Geist begraben: der Mathematiker und Wissenschaftler Carl Friedrich Gauss.

Göttingens Fremdenverkehrsbüro stellt Informationen zur Anfahrt zu den beiden Friedhöfen bereit: http://www.goettingen.de/. Mehr über die Gruppentheorie und den Zauberwürfel erfahren Sie unter http://www.usna.edu/Users/math/wdj/rubik_nts.htm.