Die Differenzmaschine

Ein Schlüsselobjekt des Science Museums ist kein Original, sondern eine Kopie. Die Differenzmaschine wurde 1822 von dem britischen Universal-gelehrten Charles Babbage erdacht. Er plante den Bau eines mechanischen Gerätes, das Zahlentabellen (wie Logarithmen, siehe Napiers Logarithmen) mit großer Genauigkeit berechnen konnte.

Wegen Babbages wechselnder Ideen und seinem ständigen Bedarf an zusätzlichen Mitteln von der britischen Regierung wurde die Differenz-maschine nie fertig gestellt, und es sind nur kleine Teile erhalten geblieben. Man ging lange davon aus, dass selbst wenn es ihm gelungen wäre, das Geld aufzutreiben, er die geplante Maschine niemals hätte fertig stellen können, weil die viktorianische Technik nicht in der Lage gewesen wäre, die benötigten vielen kleinen Teile herzustellen.

Zwischen 1989 und 1991 aber entschied sich das Science Museum, Babbages Pläne und die Technik der viktorianischen Zeit zu verwenden, um herauszufinden, ob man die Differenzmaschine hätte bauen können. Der Versuch war ein Erfolg und die funktionsfähige Maschine befindet sich nun im Museum. Sie besteht aus 4000 Teilen und wiegt über 2,5 Tonnen, aber sie funktioniert.

Im Jahr 2000 hat das Museum auch den dazugehörigen Drucker fertig gestellt – Babbage wollte Fehler bei der Abschrift der Zahlentabellen vermeiden, indem er sie zuerst mechanisch berechnete und dann direkt ausdruckte. Die zum Drucken verwendete Spaltenzahl konnte verändert werden. Der Drucker bringt die Ergebnisse zu Papier und auf eine Platte, die in Druckerpressen verwendet werden kann. Der Drucker kann die Zahlen sogar automatisch umbrechen.

Zur Berechnung von Zahlentabellen nutzt die Differenzmaschine die Finite-Differenzen-Methode. Dabei werden die Werte einer komplexen Funktion (z. B. eines Logarithmus) mithilfe einer einfachen Addition berechnet.

Um beispielsweise die Exponentialfunktion e^x für ein Tabellenbuch zu berechnen, kann man sich an e^x über eine Taylorreihe (Gleichung 77.1) annähern. Eine Taylorreihe kann eine mathematische Funktion als Summe ausdrücken.

Gleichung 77.1. Taylorreihe für e^x

Indem man die Summierung abbricht, kann man eine Näherung an die Funktion mit einer bestimmten Genauigkeit erreichen (je mehr Terme auf der rechten Seite stehen, desto genauer ist die Näherung). Beispielsweise kann eine Näherung an e^x erfolgen, indem man die Taylorreihe nach den ersten vier Termen abbricht. Diese vereinfachte Form bezeichnet man als Taylorpolynom für e^x (siehe Gleichung 77.2).

Gleichung 77.2. Taylorpolynom zur Näherung an e^x

Dies ergibt eine Näherung an e^x, die nahe genug am tatsächlichen Wert liegt. Die Tabelle 77.1 zeigt den Wert für e^x, der über die Näherung errechnet wird, verglichen mit dem tatsächlichen Wert. In diesem Fall ist die Näherung auf zwei Dezimalstellen genau (in der Tabelle sind drei Dezimalstellen angegeben, um dies zu veranschaulichen).

Doch die Berechnung des Taylorpolynoms ist relativ schwierig – es sind viele Multiplikationen notwendig, die zu Babbages Zeit den Einsatz von Logarithmentabellen erforderten und die langsam und mühselig waren. Also machte sich Babbage daran, eine Maschine zu entwerfen, die allein auf der Addition basierte.

Schreibt man die Differenzen zwischen den Werten von e^x nach dem Taylorpolynom auf und betrachtet man die Differenzen der Differenzen zeigt sich eine interessante Eigenschaft aller Polynome – irgendwann verschwinden die Differenzen. Die zweite Spalte in Tabelle 77.2 zeigt die Differenzen zweier aufeinanderfolgender Zahlenpaare (Werte von x) der ersten Spalte, die dritte Spalte zeigt die Differenz zwischen Paaren der zweiten Spalte und so weiter.

Wie Sie sehen gibt es in der vierten Spalte keine Differenz mehr.

Die Differenzmaschine nutzt dieses Verfahren in umgekehrter Richtung. Sie beginnt mit den Differenzen und führt wiederholt Additionen durch, um zu dem Ergebnis zu gelangen. Richtet man beispielsweise die Maschine mit den fett gedruckten Werten ein, dann kann man die erforderliche Menge an Werten ausgeben.

Der Wert für x = 0,2 wird berechnet, indem man 1,105 und 0,116 addiert, was 1,221 ergibt. Um den Wert für x = 0,3 zu berechnen, wird die erste Differenz 0,128 benötigt (damit sie mit 1,221 addiert werden kann). Dieser kann bestimmt werden, indem man die vorherige erste Differenz (0,116) und die zweite Differenz (0,012) addiert und so weiter.

Bei jedem Schritt kann die Differenzmaschine ein Ergebnis hinzuaddieren und eine erste Differenz für ein neues Ergebnis. Sie addiert dann die erste Differenz mit der zweiten Differenz, um die nächste erste Differenz zu ermitteln und eine zweite Differenz, um die nächste erste Differenz zu ermitteln, und die dritte Differenz, um die nächste zweite Differenz zu erhalten und so weiter. Auf diese Weise geht die Differenzmaschine die Tabelle durch. Sie ermittelt Ergebnisse durch Addition und hält Differenzen fest, um das nächste Ergebnis berechnen zu können. Die reale Differenzmaschine kann bis zu 31 Stellen berechnen und nutzt dabei sieben Differenzebenen für eine hohe Genauigkeit.