Mathematiker neigen dazu, an den seltsamsten Orten über Dinge nachzudenken. Der irische Mathematiker Sir William Rowan Hamilton entwickelte seine Theorie der Quaternionen, während er 1843 mit seiner Frau spazieren ging. Als sie die Broom Bridge in Dublin überquerten, kratzte Hamilton mit einem Messer die Quaternion-Multiplikationsgleichung (Gleichung 25.1) in das Mauerwerk der Brücke.
Hamiltons mathematischer Vandalismus ist auf der Brücke nicht mehr zu sehen, doch die Brücke selbst steht noch. Außerdem ließ der Irische Premier Eamon de Valera zu Ehren Hamiltons eine Tafel (siehe Abbildung 25.1) anbringen. Die Brücke überquert den Royal Canal in einem zwielichtigen Teil Dublins. Daher sollte man wohl besser nicht Hamiltons Spaziergang wiederholen, sondern die Buslinie 120 oder einen lokalen Zug bis zur Haltestelle Broombridge nehmen.
Abbildung 25.1 Gedenktafel an der Broom Bridge; zur Verfügung gestellt von Robert Burke (robburke.net)
Komplexe Zahlen
Mathematiker bezeichnen die Zahlen, mit denen wir jeden Tag umgehen (wie −2, 3,5 und 42), als »reelle Zahlen«. Sie können eine Zahlengerade aufzeichnen, die sich in beide Richtungen unendlich ausdehnt. Die Null liegt dabei in der Mitte, die negativen Zahlen gehen links ab und die positiven rechts. Jede reelle Zahl kann durch einen Punkt an der entsprechenden Position auf der Geraden dargestellt werden (Abbildung 25.2).
Mathematiker sprechen aber auch von komplexen Zahlen. Diese sind keine reellen Zahlen, sondern fußen auf der Arbeit mit einer imaginären Zahl, i. Wenn Sie eine Zahl quadrieren (für die 2 erhalten Sie 4, für die 3 die 9 usw.), dann liefert die Quadratwurzel wieder die Ausgangszahl – die Quadratwurzel von 4 ist 2, die Quadratwurzel von 9 ist 3.
Was ist aber mit der Quadratwurzel von –1? Es gibt keine reelle Zahl, die zum Quadrat –1 ergibt. Um dieses Problem zu umgehen, haben sich Mathematiker einfach eine Zahl ausgedacht (darum nennt man sie imaginäre Einheit) und ihr den Namen i gegeben. Die Quadratwurzel von –1 ist i, d.h. man kann folgendes schreiben: i2 = –1. Augenscheinlich taucht i auf der Zahlengerade reeller Zahlen nicht auf. Um dieses Problem zu lösen, definieren Mathematiker eine Zahlengerade für imaginäre Zahlen, die rechtwinklig zur Zahlengerade der reellen Zahlen liegt. Diese beiden Geraden bilden die komplexe Zahlenebene (Abbildung 25.3) und sehen aus wie die Achsen, die Sie aus Diagrammen kennen.
Komplexe Zahlen sind die Zahlen, die in dieser Ebene liegen. Wenn Sie einen Punkt um eine Strecke a entlang der Geraden für reelle Zahlen (der X-Achse) verschieben, und um eine Strecke b entlang der Geraden für komplexe Zahlen (der Y-Achse), dann haben Sie die komplexe Zahl gefunden, die durch a + bi geschrieben wird (wobei a und b beide reelle Zahlen sind). Mit der komplexen Zahl können Sie nun die Quadratwurzel jeder Zahl bestimmen (die Quadratwurzel von –13 beispielsweise ist 3,61i). Obwohl i als reelle Zahl nicht existiert, stellt sie ein nützliches abstraktes Konstrukt dar, das für mathematisches Denken typisch ist – mit ihrer Einführung wird das Problem beseitigt, keine Quadratwurzeln negativer Zahlen ziehen zu können.
Komplexe Zahlen unterliegen den gleichen Regeln wie reelle Zahlen: Addition und Multiplikation sind kommutativ (d.h. es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie rechnen – zum Beispiel 2 × 3 = 3 × 2); Addition und Multiplikation sind assoziativ (d.h. wenn mehrere Zahlen addiert oder multipliziert werden müssen, dann spielt es keine Rolle, mit welchem Paar Sie beginnen – bei der Berechnung von 2 × 3 × 4, können Sie beispielsweise 2 × 3 zuerst ausrechnen, oder 3 × 4) und die Multiplikation ist distributiv (d.h. man kann bei einer Berechnung entsprechend »ausmultiplizieren« – zum Beispiel 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4). Alles was den gleichen Regeln folgt wie reelle Zahlen, bezeichnen Mathematiker als Körper.
Weil komplexe Zahlen Körper sind, können auch für andere Körper verwendete Sätze direkt auf sie angewandt werden. Sobald Sie wissen, dass es sich um einen Körper handelt, wird eine ganze Masse an Mathematik anwendbar. Aus diesem Grund sind komplexe Zahlen bei einer Vielzahl praktischer Disziplinen wie Elektrotechnik und Fluiddynamik nützlich. Sie bilden auch den Kern der wunderschönen mathematischen Fraktale. Bei Fraktalen handelt es sich um mathematische Formen, die man immer weiter vergrößern kann, ohne auf eine gerade Linie zu stoßen. Sie werden auch als Mandelbrotmenge bezeichnet (Abbildung 25.4).
Hamiltons Quaternionen sind eine Erweiterung komplexer Zahlen. Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen, d.h. die Zahl a + bi besteht aus einem reellen Teil a und einem imaginären Teil bi. Ein Quaternion besteht aus vier Teilen, die man a + bi + cj + dk schreibt, wobei a, b, c und d reelle Zahlen sind und i, j, k imaginäre Zahlen. Um ein Quaterion grafisch darzustellen, benötigen Sie vier Zahlengeraden. Dadurch ergibt sich ein vierdimensionales Bild analog zur komplexen Zahlenebene.
Hamilton erarbeitete die Regeln für die Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division dieser Quaternionen. Seine Eingebung auf der Broom Bridge war die, dass die Regel für die Multiplikation von Quaternionen nicht der einfachen Multiplikation reeller (oder auch komplexer) Zahlen entspricht, d.h. bei zwei Quaternionen q0 und q1 gilt q0 × q1 = q1 × q0 nicht. Dies bedeutet, dass die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist.
Die Arbeit mit nicht kommutativen Zahlen (den Quaternionen) revolutionierte die Mathematik. Zwar wurden Quaternionen selbst durch andere mathematische Ideen (wie Vektoren und Matrizen) abgelöst, aber man findet sie immer noch in der Computergrafik. Quaternionen bieten eine sehr schnelle Möglichkeit zur Berechnung der Rotation eines Objekts auf dem Bildschirm. Denken Sie das nächste Mal an Hamilton, wenn das Raumschiff in Ihrem Videospiel ein raffiniertes Manöver fliegt.
Wenn Sie die Broom Bridge angeschaut haben, können Sie in das Zentrum Dublins zurückfahren und im Anschluss gleich dem Trinity College einen Besuch abstatten.