De vaardigheid om met getallen om te gaan is net zo belangrijk als kunnen lezen en schrijven. En hoewel ieder mens een andere aanleg heeft om met getallen om te gaan, kan bijna iedereen zijn rekenvaardigheid verbeteren. Getallen ondergaan dankbaar alle moeite die je erin stopt om ze te leren kennen.

Omdat zo veel mensen problemen hebben met rekenen, heb je niet alleen direct baat bij het verbeteren van je rekenvaardigheid. Het helpt je ook indirect bij het maken van een goede indruk en geeft je een voorsprong op het werk of op school. In het voorwoord staat dat deze uitgave een boek voor hersenkunsten is. De meeste hacks in dit hoofdstuk gaan over hoofdrekenen: je laat je hersenen voor je rekenen.

HACK 15

Leg die rekenmachine weg Je hebt geen rekenmachine nodig om eenvoudige berekeningen te maken. Leer een paar trucs en oefen wat. Je zult er versteld van staan hoeveel berekeningen je uit je hoofd kunt doen.

De meeste mensen hebben een rekenmachine nodig voor een simpele optelsom. Dat is niet erg, maar als je geen rekenmachine bij de hand hebt, dan heb je een probleem. Bovendien kun je het zoveel sneller uit je hoofd dan op een rekenmachine. Ja, zelfs als je de tijd die je kwijt bent aan het zoeken naar een rekenmachine niet meetelt.

Aan de slag

Er zijn veel boeken over hoofdrekenen geschreven, maar die ga ik niet allemaal in deze hack bespreken. Deze hack gaat over een aantal specifieke technieken die allemaal op hun eigen manier handig zijn. Sommige van de andere hacks in dit hoofdstuk zijn ook handig bij het hoofdrekenen. Als je deze hack interessant en bruikbaar vindt, bekijk dan welke boeken er nog meer over dit onderwerp geschreven zijn. Een aantal ervan staat aan het eind van deze hack.

Je moet beginnen op een niveau dat je aankunt. Als je je rekenmachine al pakt als je wilt weten hoeveel 8 × 7 is, dan leer je eerst de tafels uit je hoofd. Gebruik hierbij pen en papier en kijk je werk na.

De volgorde veranderen. Stel je voor dat je de volgende getallen moet optellen:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Je kunt dan 9 + 8 bij elkaar optellen zodat je 17 krijgt en dan 7 erbij maakt 24 enzovoort. Maar het is gemakkelijker om de cijfers in een andere volgorde te zetten:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 + 5

Elk paar is samen 10. Op die manier kom je op de volgende, gemakkelijke optelsom:

10 + 10 + 10 + 10 + 5

en dat is 45.

Naast het herschikken van getallen om de tientallen (of twintigtallen) te vinden, kun je ook de getallen op volgorde van grootte zetten. Stel dat je de volgende getallen moet optellen:

Het is dan gemakkelijker om ze als volgt te herschikken:

Dit is gemakkelijker omdat 3.300.000 en 1.100.000 evenveel nullen hebben en dat telt vlug op. Als je 270.000 en 30.000 bij elkaar optelt, kom je op een mooi rond getal uit, namelijk 300.000. Je hoeft dan alleen nog maar 4.400.000 en 300.000 bij elkaar op te tellen. Een gemakkelijke som met als uitkomst 4.700.000.1

Maak het jezelf makkelijker. Bij het leren vermenigvuldigen op de basisschool heb je waarschijnlijk geleerd om van rechts naar links te werken zoals bij de volgende vermenigvuldiging.

Je moest dan twee keer vermenigvuldigen. Eerst vermenigvuldigde je de 4 van 74 met 841. Vervolgens zette je daaronder een kruis en vermenigvuldigde je de 7 van 74 met 841. Als je dit uit je hoofd wilt doen, moet je voortdurend allerlei tussenresultaten onthouden bijvoorbeeld het getal 3.364 van de eerste vermenigvuldiging. Bij de tweede stap moet je bij het onderdeel 7 × 8 de 2 van het onderdeel 7 × 4 erbij optellen enzovoort.

In plaats van van rechts naar links te werken, ga je nu van links naar rechts werken door telkens een van de zes cijferparen te vermenigvuldigen. Je doet dit niet om het alleen maar op een andere manier te doen. Het is juist de bedoeling dat je de hoeveelheid informatie die je moet onthouden terugbrengt en beheersbaar maakt.

Voordat je verdergaat met het laatste voorbeeld, los je eerst een eenvoudigere som op. Vermenigvuldig een getal van twee cijfers met een ander getal van twee cijfers. Vermenigvuldig bijvoorbeeld 42 × 29. Je doet dit door elk paar cijfers (bedenk dat de eerste 4 40 betekent en de 2 van het tweede getal 20) te vermenigvuldigen. Begin links en hou het totaal bij:

De vier vermenigvuldigingen geven de volgende uitkomsten:

40 × 20 = 800
40 × 9 = 360; 800 + 360 = 1.160
2 × 20 = 40; 1.160 + 40 = 1.200
2 × 9 = 18; 1.200 + 18 = 1.218

Je ziet dat je tussen de stappen slechts één getal hoeft te onthouden. Dit geldt zelfs voor moeilijkere sommen. Natuurlijk is er niks mis met het uitschrijven van de som als je pen en papier handiger vindt. Maar deze manier vind je waarschijnlijk eenvoudiger en er is minder kans op fouten dan bij de gebruikelijke methode.

Omdat je het antwoord slechts maar even hoeft te onthouden, heb je waarschijnlijk geen geheugensteuntje nodig zoals in hoofdstuk 1 staat beschreven.

 

Van groot naar klein gaan werkt vaak beter omdat het gemakkelijker is om een klein getal op te tellen bij een groot getal. Als je alleen een schatting moet geven, dan kun je stoppen na de eerste vermenigvuldigingen. En dat is mooi meegenomen. (Maar pas op: het is wel een erg ruwe schatting: 800 in plaats van 1.218!)

Terug naar het eerste voorbeeld. De vermenigvuldiging bestaat uit een aantal cijferparen:

De berekening ziet er als volgt uit:

800 × 70 = 56.000
800 × 4 = 3.200; 56.000 + 3.200 = 59.200
40 × 70 = 2.800; 59.200 + 2.800 = 62.000
40 × 4 = 160; 62.000 + 160 = 62.160
1 × 70 = 70; 62.160 + 70 = 62.230
1 × 4 = 4; 62.230 + 4 = 62.234

Natuurlijk is dit hetzelfde antwoord als dat je hiervoor hebt berekend. Door een som op twee manieren op te lossen kun je nagaan of je het goed hebt gedaan.²

Hack 38 (waarbij je uit je hoofd sommen narekent) en Hack 41 (waar je de orde van grootte bepaalt) geven je andere manieren waarmee je je berekening kunt checken.

 

Op zoek naar vriendelijke getallen. Welke optelling zou je liever doen: 79 + 87 of 80 + 86? Waarschijnlijk de laatste. Die is gemakkelijker omdat er een ‘mooi’ getal in zit, namelijk 80 dat op 0 eindigt. Dat heet een vriendelijk getal (Hack 36). Getallen die op 0 eindigen zijn vriendelijk, omdat ze bij het optellen het eindcijfer niet beïnvloeden. Daarna kun je in je hoofd de tientallen optellen (8 + 8 = 16) en deze voor de 6 zetten en dan heb je het antwoord: 166.³

Bij moeilijkere optellingen is het de truc om de som te veranderen om op vriendelijke getallen uit te komen zonder dat het antwoord wijzigt. Als je bijvoorbeeld 79 + 87 moet uitrekenen, dan valt je op dat 79 vlak bij het vriendelijke getal 80 staat. Om van 79 80 te maken, moet je er 1 aan toevoegen. Dus om de uitkomst hetzelfde te houden, moet je ergens de 1 vanaf halen. Dat doe je van de 87. Dan krijg je 86. Je hebt dan 80 + 86 = 166, net als in het vorige voorbeeld.

Je kunt natuurlijk ook 80 + 87 = 167 doen en er dan 1 van aftrekken om dezelfde uitkomst te krijgen.

 

Zo werkt het ook bij vermenigvuldigen.4 Stel dat ik je vraag om 300 × 70 uit je hoofd te doen. Dan vermenigvuldig je 3 × 7 = 21 en voeg je er drie nullen aan toe. Zo kom je gemakkelijk aan 21.000. Ook hier maken de nullen op het eind de vermenigvuldiging eenvoudig.

Als je nu 302 × 69 doet, kan dat op de volgende manier:

volgende manier: 302 × 69 = (300 + 2) × (70 – 1)

Nu doe je dezelfde kruislingse vermenigvuldiging als je eerder deed, maar nu met grotere getallen:

300 × 70 = 21.000
300 × –1 = –300; 21.000 – 300 = 20.700
2 × 70 = 140; 20.700 + 140 = 20.840
2 × –1 = –2; 20.840 – 2 = 20.838

Getallen die op een 0 eindigen zijn het vriendelijkst, maar delers van 100 (Hack 36)
zijn ook erg vriendelijk. Als je bijvoorbeeld kijkt naar delers van 100, dan zie je dat
25 ook een vriendelijk getal is en 75 is minstens een vriend van een vriend. Op die
manier ziet het voorbeeld dat eerder werd gegeven, 841 × 74, er als volgt uit:

841 × 74 = 841 × (75 – 1) = 841 × 75 – 841

841 × 75

= 841 × 3 × 25 = 2523 × 25 = (2524 – 1) × 25 = 2524 × 25 – 25 = 2524 × 100 : 4 – 25 = 252400 : 4 – 25 = 63100 – 25 = 63075

Daarna trek je de resterende 841 in delen ervan af:

63.075 – 800 = 62.275
62.275 – 40 = 62.235
62.235 – 1 = 62.234

Nu heb je het derde bewijs dat je uitkomst klopt!

Zo werkt het

Deze trucs werken allemaal doordat er met ‘mooie’ getallen wordt gewerkt. Het eerste vermenigvuldigingsvoorbeeld dat je kreeg was 841 × 74. Het antwoord achterhaalde je op de volgende manier:

841 × 74

= (800 + 40 + 1) × (70 + 4) = 800 × (70 + 4) + 40 × (70 + 4) + 1 × (70 + 4) = 800 × 70 + 800 × 4 + 40 × 70 + 40 × 4 + 1 × 70 + 1 × 4

De eerste regel maakt gebruik van het decimale getallensysteem (Hack 40) en de regels eronder zijn herhaalde toepassingen van de distributieve eigenschap.

In de praktijk

Stel nu dat je een kaartspel speelt (Hack 67) met 52 kaarten. Je eindscore wordt gebaseerd op de kaarten die je overhoudt. Elke kaart heeft een bepaalde waarde (dus de harten vier is 4 punten) en de aas is 1 punt en elke kaart met een plaatje erop is 10 punten. In tabel 4.1 zie je welke kaarten je hebt.

Leg de 10 en de vrouw apart. Zij zijn 20 punten waard. Leg daarna de kaarten neer zoals in figuur 4.1:

• harten aas, schoppen 2, schoppen 7 = 10 punten
• harten 8, ruiten 2 = 10 punten
• ruiten 8, klaveren 2 = 10 punten

Je hebt nu 50 punten bij elkaar. Het enige wat je nog moet doen is de overgebleven kaarten optellen, klaver aas en ruiten 3, en dan kom je op nog eens 4 punten uit. Je totale score is 54 punten en je hebt dit waarschijnlijk sneller bij elkaar geteld dan je medespelers. Zo snel dat je zelfs nog een keer kunt checken of het klopt om er zeker van te zijn dat de drie 2-en geen extra punten opleveren.

Noten

1. Sticker, H. (1955). How to calculate quickly. New York (VS): Dover.
2. Julius, E.H. (1996). More rapid math: tricks and tips. New York (VS): Wiley.
3. Kelly, G.W. (1984). Short-cut math (hoofdstuk 2). New York (VS): Dover.
4. Julius, E.H. (1997). Zestig snelrekentrucs. Utrecht: Het Spectrum.

Zie ook

• Gardner, M. (1989). Mathematical carnival. Washington (VS): Mathematical Association of America. De hoofdstukken 6 en 7 gaan over rekenwonders en een aantal trucs dat ze gebruikten.
• Doerfler, R.W. (1993). Dead reckoning: calculating without instruments. Houston (VS): Gulf Publishing Company. Dit boek is voor gevorderden. Naast de basishandelingen behandelt het ook worteltrekken en nog moeilijkere wiskundige functies zoals logaritmen en trigonometrie.

HACK 36

Vrienden worden met getallen Met een klein beetje ervaring kun je elk getal aan zijn speciale kenmerken leren herkennen. Een aantal van deze kenmerken zijn handig bij het rekenen met en onthouden van getallen.

Een getal als 1.729 zegt je waarschijnlijk niet zoveel. Het is gewoon een getal. Maar 1.000.000 ziet er al vriendelijker uit. Als je een beetje moeite doet kun je met meer getallen bevriend raken. Lees hierna hoe je ze beter leert kennen.

Aan de slag

Je begint met de getallen waar je waarschijnlijk al mee bevriend bent, de machten van 10 zoals 10, 100, 1.000 enzovoort. Omdat je een decimaal systeem gebruikt (Hack 40) eindigen de machten op nullen. Bedrijven die zich hiervan bewust zijn willen telefoonnummers die een veelvoud zijn van machten van 10, omdat die gemakkelijker zijn te onthouden. Bijvoorbeeld de muziekzender MTV heeft als telefoonnummer 020 49 37 000. Dat is een veelvoud van 1.000. Vermenigvuldigen met een macht van 10 is eenvoudig. Je hoeft alleen maar nullen toe te voegen:

314 × 1.000 = 314.000

Op dezelfde manier deel je door machten van 10 door de nullen weg te halen (of een komma toe te voegen als er niet genoeg nullen zijn):

2030 : 100 = 20,3

Als je naar de machten van 10 kijkt, 2 en 5, dan zie je andere nuttige toepassingen. Als je bijvoorbeeld een getal met 5 wilt vermenigvuldigen, vermenigvuldig je het eerst met 10 en daarna deel je het resultaat door 2. Dit werkt omdat 2 een vriendelijker getal is dan 5. (Dit geldt voor zowel vermenigvuldigen als voor delen.) Als je bijvoorbeeld 386 × 5 wilt uitrekenen, dan doe je eerst 386 × 10 = 3.860. Vervolgens deel je 3.860 door 2 = 1.930.

Dit kun je uitbreiden door de delers van machten van 10 te gebruiken. Bijvoorbeeld: 100 = 4 × 25, dus als je iets door 25 deelt, dan verdubbel je het getal twee keer (dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met 4) en dat deel je door 100:

217 : 25 = (4 × 217) : 100 = 868 : 100 = 8,68

Als je iets moet schatten, dan kunnen getallen die in de buurt liggen ook handig zijn. Zo is 33 × 3 = 99, dus bijna 100, en 17 × 6 = 102, en dat is ietsje meer dan 100.

Zo werkt het

Deze hack geeft je niet, zoals andere hacks in dit hoofdstuk, een kant-en-klare oplossing waarmee je van elk heel getal dat je tegenkomt een uniek getal maakt. Bij deze hack wil je iets ongebruikelijks aan een getal ontdekken. Als elk getal dezelfde speciale kenmerken zou hebben, dan zou het niet meer speciaal zijn. Getallen leren kennen is een geleidelijk proces. Maar ik kan je wel een paar tips geven om het gemakkelijker te maken.

Begin met kleine getallen

Verderop staat een voorbeeld van het ophakken van een zevencijferig telefoonnummer. Je kunt dit nummer natuurlijk ook splitsen in een drie- en een viercijferig deel. Of in twee tweecijferige delen en een driecijferig deel.

Ontbind het getal in factoren

Ik heb het al eerder gehad over factoren van machten van 10 (zoals 4 en 25). Het ontbinden in factoren kan op andere manieren handig zijn bij het hoofdrekenen (of het rekenen op papier). Als je bijvoorbeeld 193 × 56 wilt uitrekenen, is het eenvoudiger om 56 te ontbinden in de factoren 8 en 7 en ze vervolgens elk apart te vermenigvuldigen:

193 × 56 = 193 × 8 × 7 = 193 × 23 × 7 = 386 × 22 × 7 = 772 × 2 × 7 = 1544 × 7 = 10808

In dit voorbeeld vermenigvuldig je met 8 door 193 drie keer te verdubbelen.

Zoek naar patronen of bijna-patronen

Ik had ooit een receptnummer dat 66123465 was. Dit nummer was gemakkelijk te onthouden omdat het bestond uit twee patronen: al mijn receptennummers begonnen met 66 en de rest van het nummer was bijna gelijk aan 123456. De afwijking in het patroon was gemakkelijker te onthouden dan het nummer zelf.

Verbind getallen aan iets waar je ze voor gebruikt

Als je een sportfan bent en je weet dat je favoriete speler 14 op zijn shirt heeft staan, dan kun je andere nummers 14 onthouden door ze met die speler te verbinden. (Dit is een variant op de geheugensteuntjestechnieken die in hoofdstuk 1 aan de orde komen.)

Zoek naar vrienden van vrienden

Als je bij het rekenen op zoek gaat naar vrienden van vrienden, dan betekent dit dat je zoekt naar getallen die in de buurt liggen van andere. Bijvoorbeeld 4 × 24 is gemakkelijk om te zetten naar 4 × (25 – 1) = 100 – 4 = 96.

Om het bij de geheugensteuntjes te houden, elke manier waarop je getallen met elkaar kunt verbinden is prima.

In de praktijk

Ik heb het al gehad over hoofdrekenen. Nu ga je je concentreren op ezelsbruggetjes. Hoe kun je dat toepassen bij bijvoorbeeld het gratis nummer van KPN Business Servicedesk 0800 024 80 80?

Omdat een hoop gratis nummers met 0800 beginnen, moet het geen probleem zijn om dat te onthouden. Valt je op dat 800 een veelvoud van 100 is? Daarna zie je dat het cijfer 2 terugkomt, alleen dan tot de tweede en de derde macht.

Je aanpak hangt van je voorkeur af. Ik herinner me van de hogeschool dat ik mijn vriend Ben aan het begin van het schooljaar tegenkwam. Hij vertelde me dat zijn telefoonnummer 43 67 062 was. Ik nam niet de moeite het op te schrijven, want ik wist zeker dat ik het zo kon onthouden. Twintig jaar later weet ik het nog steeds, ook al is Ben al meer dan negentien jaar geleden verhuisd.

Hoe heb ik het nummer onthouden? Ik zag dat het bestond uit zeven getallen waarvan er een aantal het getal zeven vormden. Ik keek naar de opvallende kenmerken van het nummer. Daarna verdeelde ik de getallen onder in factoren, hoewel ik ook een paar van de eerdergenoemde technieken gebruikte.

Eerst keek ik of ik het kon delen (zie het kader ‘Deelbaar door zeven’ op pagina 159 en Hack 37). Ik zag dat 4.367.062 deelbaar is door 2 (omdat het laatste getal een even getal is) en door 7 (omdat +62 – 367 + 4 = –301 en –301 : 7 = –43). Ik zag ook dat er geen andere kleine delers waren. Als ik dit getal deelde door de factoren die ik al had gevonden (2 en 7) en de technieken uit Hack 35 inzette, dan kreeg ik het volgende resultaat:

4367062 : 2 = 2183531
2183531 : 7 = 311933

Dus 4.367.062 = 2 × 7 × 311.933.

Er zit een patroon in dat nummer 311.933. Als je de eerste drie cijfers vermenigvuldigt met 3, dan krijg je de laatste drie cijfers. Een klein gedachtesprongetje laat zien dat:

311933 = 311 × 1003

En hier had ik geluk. Beide nummers waren al vrienden van me (dus dit nummer 311.933 was een vriend van deze vrienden). 311 is een priemgetal en 1.003 is 17 × 59. Dat zijn ook allebei priemgetallen. Omdat ik wiskundige ben zijn priemgetallen (getallen die alleen door zichzelf en 1 gedeeld kunnen worden) interessant en vaak ‘vriendelijk’. Om verschillende redenen1 is 17 een erg goede vriend, dus ik wist al dat het een deler van 1.003 was.

De complete ontbinding in factoren is:

2 × 7 × 17 × 59 × 311

Voor mij zijn deze getallen vrienden. Het is fijn dat elk priemgetal maar één keer voorkomt. Dat was voor mij voldoende om het telefoonnummer te onthouden.

Aan deze informatie heb jij waarschijnlijk niets bij het onthouden van het nummer. Het is belangrijk dat je op je eigen manier vrienden wordt met getallen. Iedereen heeft daarvoor een andere manier. Zo vinden wiskundigen het leuk om de volgende anekdote over Srinivasa Ramanujan te vertellen, een groot wiskundige aan het begin van de twintigste eeuw, om te laten zien wat ze bedoelen met vrienden zijn met getallen.

Vriend en collega G.H. Hardy bezocht Ramanujan in het ziekenhuis en maakte een praatje met hem. Hardy vertelde dat de taxi waarmee hij was gekomen nummer 1.729 had. Tot Hardy’s grote verdriet, want het was zo’n saai getal. Ramanujan was het daar niet mee eens. 1.729 was wel een interessant getal, omdat het het kleinste getal was dat op twee verschillende manieren de som is van twee derde machten.2

Ramanujan had gelijk: 103 + 93 = 1.000 + 729 = 1.729, en 123+13= 1.728 + 1 = 1.729. Het is simpel, zelfs een beetje vervelend, om uit te zoeken dat er geen kleiner heel getal is waarbij dit mogelijk is. Je kunt voor het getal 1.729 de eigenschap waar Ramanujan het over had achterhalen met een hoop vervelende routineberekeningen, maar hij benaderde het getal juist vanuit een andere, behoorlijk opmerkelijke hoek. Zelfs de meest geleerde wiskundigen zouden het moeilijk vinden, alleen al daarom is dit verhaal zo populair. J.E. Littlewood, een andere collega, iemand die regelmatig met Hardy en Ramanujan samenwerkte, verklaart het als volgt: elk positief heel getal was een persoonlijke vriend van Ramanujan. Je herkent slechts iemand in een mensenmassa als je diegene kent. En voor Ramanujan waren het getallen die hij uit duizenden herkende.

Als je niet iedereen herkent, kun je natuurlijk leren om een paar mensen te herkennen. Dat helpt altijd!

Noten

1. Lefèvre, V. (1998). ‘17 (Seventeen) and Yellow Pigs.’ Online uitgave op http:// www.vinc17.org/yp17/index.en.html.
2. MathPages.com. ‘The Dullness of 1729.’ Zie http://www.mathpages.com/ home/kmath028.htm.

HACK 37

Onderzoek of het getal deelbaar is Het is vaak handig om te weten of een getal deelbaar is door een ander getal. Hierna geef ik je een aantal trucs die verder gaan dan alleen weten of een getal even of oneven is, of deelbaar door 10.

Voordat de decimale getallen zoals 3,5 waren uitgevonden, gebruikten mensen getallen met breuken zoals 31/2. Bij problemen met delen moesten ze eerst grote breuken zoals 243/405 terugbrengen tot de kleinst mogelijke vorm. In dit geval kom je dan op 3/5 uit. Weten of iets deelbaar is door hele getallen van 1 tot en met 12, of van 1 tot en met 15, was erg handig in de tijd dat er nog geen elektronische rekenmachine bestond.¹

Als je je mentale rekenkracht wilt verbeteren, zijn deze oude regels zeer handig. Ze zijn vooral handig bij rekentrucs waarbij je factoren van getallen moet bepalen, zoals eenvoudige vermenigvuldigingen uit je hoofd. Soms is het zelfs zo dat als je weet dat een getal deelbaar is door een ander getal je al halverwege de oplossing van het probleem bent.

Aan de slag

De volgende lijst laat zien hoe je erachter komt of een getal deelbaar is door een geheel getal van 1 tot en met 15. In dit geval betekent ‘deelbaar’ dat een getal echt deelbaar is door een geheel getal. Bij de deling moet er dan geen rest overblijven of moet de rest 0 zijn.

1. Elk geheel getal is deelbaar door 1.
2. Als het om een even getal gaat (getal eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8), dan is het getal deelbaar door 2. Bijvoorbeeld: 22, 136, 54, 778.
3. Als de som van de cijfers van een getal 0, 3 of 6 is (of 9, wat in dit geval gelijk staat aan 0), dan is het getal deelbaar door 3. (Zie ook Hack 38 over uit je hoofd controlesommen maken.) Bijvoorbeeld: 138 = 1 + 3 + 8 = 12; 1 + 2 = 3.
4. Als het getal, gevormd door de laatste twee cijfers van een getal, deelbaar is door 4, dan is het hele getal ook deelbaar door 4. Bijvoorbeeld: 216 (16 is deelbaar door 4).
5. Als het laatste cijfer van een getal 0 of 5 is, is het getal deelbaar door 5. Bijvoorbeeld: 147.325 (eindigt op 5, dus deelbaar door 5).
6. Als een getal deelbaar is door zowel 2 als 3, is het ook deelbaar door 6. (Zie ook uitleg bij punt 2 en 3.) Bijvoorbeeld: 138 is deelbaar door 2, omdat het laatste cijfer een 8 is. Het getal is ook deelbaar door 3, want 1 + 3 + 8 = 12 en 1 + 2 = 3. Daarom is het ook deelbaar door 6.
7. Zie het kader ‘Deelbaar door 7’.
8. Als het getal, gevormd door de laatste drie cijfers van een getal, deelbaar is door 8, dan is het hele getal deelbaar door 8. Bijvoorbeeld: bij 2.889.888 is dat getal 888. Dit is deelbaar door 8.
9. Als de som van de cijfers van een getal 0 is (of 9, wat in dit geval hetzelfde is als 0), dan is het getal deelbaar door 9. (Zie ook Hack 38 over controlesommen maken uit je hoofd.) Bijvoorbeeld: 41.805 = 4 + 1 + 8 + 0 + 5 = 18; 1 + 8 = 9.
10. Als het laatste cijfer van een getal 0 is, dan is het getal deelbaar door 10. Bijvoorbeeld bij 99.310 is het laatste cijfer een 0.
11. In Hack 38 staat een eenvoudige manier om te achterhalen of een getal deelbaar is door 11. In de meeste gevallen is het zo dat als het getal modulo 11 0 is, dan is het deelbaar door 11.
12. Als een getal deelbaar is door zowel 3 als 4, dan is het getal ook deelbaar door 12. (Zie ook uitleg bij punt 3 en 4.) Bijvoorbeeld: 624 is deelbaar door 3 omdat 6 + 2 + 4 = 12 en 1 + 2 = 3. Dit getal is ook deelbaar door 4 omdat het getal, gevormd door de laatste twee cijfers (24), deelbaar is door 4. Daardoor is het deelbaar door 12.
13. Als je van het getal, gevormd door alle cijfers behalve de laatste, 9 keer het laatste cijfer aftrekt, en de uitkomst daarvan deelbaar is door 13, dan is het hele getal deelbaar door 13.2 Bijvoorbeeld: 351 is deelbaar door 13 omdat 35 – 9 × 1 = 26. Omdat 26 deelbaar is door 13, is 351 ook deelbaar door 13. Ook bij grotere getallen werkt het zoals 3.185, want 318 – 9 × 5 = 273. Omdat 273 deelbaar is door 13, is 3185 ook deelbaar door 13.
14. Als een getal deelbaar is door zowel 2 als 7, dan is het getal ook deelbaar door 14. (Zie ook uitleg bij punt 2 en 7.) Bijvoorbeeld: 65.282.490 is deelbaar door 2, omdat het eindigt op een 0. Het is ook deelbaar door 7, omdat het 7 minder is dan 65.282.497. En zoals je in het kader ‘Deelbaar door 7’ ziet (zie pagina 159) is dit laatste getal deelbaar door 7. Omdat het door zowel 2 als 7 deelbaar is, is het ook deelbaar door 14.
15. Als een getal deelbaar is door zowel 3 als 5, is het getal ook deelbaar door 15. (Zie ook uitleg bij punt 3 en 5.) Bijvoorbeeld: 3.285 is deelbaar door 3, omdat 3+ 2 + 8 + 5 = 18 en 1 + 8 = 9. Het getal is ook deelbaar door 5 omdat het eindigt op 5. Daarom is het deelbaar door 15.

In de praktijk

Ik geef je nu een voorbeeld van een praktijksituatie waarbij het handig is als je weet of iets deelbaar is of niet.

Je bent uit eten met 11 mensen. Het restaurant gaat bijna dicht en jullie willen de rekening met z’n elven delen om zo tijd te besparen, maar niemand heeft een rekenmachine of een pda bij zich.

De rekening is 419 euro en 15 cent in totaal. Je rondt dit af naar 419 euro en kijkt hoeveel maal 11 erin zit. Je houdt 1 euro over, wat betekent dat als je 1 euro van 419 afhaalt, je op een getal uitkomt dat deelbaar is door 11, namelijk 418. Een snelle berekening uit het hoofd laat zien dat iedereen 38 euro moet betalen (418 : 11 = 38) en dat als iedereen wat kleingeld eraan toevoegt je het verschil van 1,15 euro snel bij elkaar hebt en je het restaurant vlug kunt verlaten.

Noten

1. Gardner, M. (1991). ‘Tests of divisibility.’ In: The unexpected hanging and other mathematical diversions. Chicago (VS): University of Chicago Press. Een uitstekend artikel over deelbaarheid en het vormt de basis voor deze hack. Het laat zien welke regels er zijn voor de getallen 1 tot en met 12. Ook vind je er verschillende andere tests om te achterhalen of iets deelbaar is door 7. Daarnaast staan er goocheltrucs in die met deelbaarheid te maken hebben en nog veel meer andere dingen in die prachtige stijl van Gardner.
2. Wikipedia. ‘Divisor.’ Zie http://en.wikipedia.org/wiki/divisor. Je vindt hier de regels die gelden voor de getallen 13, 14 en 15. Je krijgt uitleg over bepaalde terminologie en basisprincipes. Ook gaat het artikel dieper in op een nogal ingewikkelde regel om de deelbaarheid van een heel getal te achterhalen voor elk grondgetal door elk willekeurig kleiner heel getal.

HACK 38

Controlesommen maken uit je hoofd Computers maken gebruik van controlesommen om er zeker van te zijn dat de gegevens niet tijdens het proces zijn beschadigd. Nu leer ik je een paar eenvoudige technieken waarbij je een controlesom tijdens het hoofdrekenen gaat maken.

Het is belangrijk om een aantal manieren te hebben om je hoofdberekeningen te checken. Nu moeten deze manieren minder tijd kosten dan het oplossen van de som je in eerste instantie heeft gekost. Liefst moet het sneller zijn. Bij de vier basishandelingen van het rekenen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) is het eenvoudig om je berekening te checken door de cijfers van de getallen bij elkaar op te tellen. De cijfersom vormt (bij elkaar opgeteld) vaak een speciaal soort controlesom of levert een data-integriteitcheck. Controlesommen worden over de hele wereld door computers gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan creditcards, isbn’s op boeken of bij het maken van downloads met je webbrowser. Nu kunnen je hersenen ze ook gebruiken.

De cijfersom (digit sum) is eenvoudig te vinden. Je telt gewoon alle cijfers van een getal bij elkaar op. Als het resultaat groter is dan 9, dan tel je die cijfers weer bij elkaar op. Dit doe je net zolang totdat je een getal van één cijfer overhoudt. Als de uitkomst 9 is, dan maak je er 0 van. De uitkomst is de cijfersom van het originele getal. ¹

Bijvoorbeeld: de cijfersom van 381 is 3.

3 + 8 + 1 = 12
1 + 2 = 3

Zo is bij 495 de cijfersom 0.

4 + 9 + 5 = 18
1 + 8 = 9 (is gelijk aan 0)

De som van de cijfers is het getal modulo 9. De cijfersom van een getal is gelijk aan dat getal modulo 9. Met andere woorden: wat er overblijft als het getal door 9 wordt gedeeld. Zie Hack 43 als je meer over modulorekenen wilt weten.

Deze techniek staat ook bekend als ‘casting out the nines’ (het uitsluiten van alle negens). Deze techniek en ook de techniek ‘casting out the elevens’ (het uitsluiten van alle elven) zijn gebaseerd op hetzelfde principe. Je hebt alleen maar deze technieken nodig om je berekeningen snel en efficiënt zoals in de paragraaf ‘Aan de slag’ wordt beschreven te controleren.

Aan de slag

In deze paragraaf laat ik zien hoe je een controlesom maakt voor de vier basisberekeningen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ik gebruik alleen gehele getallen in de voorbeelden, maar de technieken werken ook goed bij decimale getallen zolang ze allemaal hetzelfde aantal decimalen hebben. Als je bijvoorbeeld 13,52 vermenigvuldigt met 14,6, voeg dan een 0 toe (14,60) zodat er een getal ontstaat met twee decimalen.

Optellen. Om je antwoord te controleren na een optelling, doe je het volgende.

1. Bereken voor alle getallen die je bij elkaar hebt opgeteld de cijfersom.
2. Tel de cijfersommen bij elkaar op en bereken hiervan opnieuw de cijfersom.
3. Bereken ook de cijfersom van het resultaat van de oorspronkelijke optelling.
4. Vergelijk deze twee cijfersommen. Als ze overeenkomen, dan heb je het juiste
   antwoord uit je hoofd berekend.

Ik geef je een voorbeeld van een juiste optelling:

Een ander voorbeeld voor controle van je optelling:

Je ziet hier dat de cijfersom van de delen niet gelijk is aan de cijfersom van de berekende uitkomst. Dat houdt dus in dat het antwoord niet juist is.

Het berekenen van de cijfersom is nog eenvoudiger als je de negens meteen in nullen omzet. Dus in plaats van 4 + 9 = 13 zoals in het voorbeeld, doe je 4 + 0 = 4. Op die manier heb je in één keer het juiste antwoord.

Vermenigvuldigen. Om je antwoord na een vermenigvuldiging te controleren, doe je het volgende.

1. Bereken voor de getallen van de vermenigvuldiging de cijfersom.
2. Vermenigvuldig deze cijfersommen met elkaar en bereken hiervan opnieuw de cijfersom.
3. Bereken ook de cijfersom van het resultaat van de oorspronkelijke vermenigvuldiging.
4. Vergelijk deze twee cijfersommen met elkaar. Als ze overeenkomen, dan is het antwoord juist.

Ik geef je een voorbeeld van een juiste vermenigvuldiging.

Een ander voorbeeld voor controle van je vermenigvuldiging.

Je ziet hier dat de cijfersom van de delen niet gelijk is aan de cijfersom van de berekende uitkomst. Dat houdt dus in dat het antwoord niet juist is.

Aftrekken. Aftrekken is het tegenovergestelde van optellen. Als je de uitkomst van een aftreksom wilt controleren, dan werkt dat op dezelfde manier als bij een optelsom. Je moet alleen van de aftreksom een optelsom zoals in het volgende voorbeeld maken.

Delen. Zoals aftrekken het tegenovergestelde is van optellen, is delen het omgekeerde van vermenigvuldigen. Als je een deelsom wilt narekenen, dan werkt dat net zo als bij het narekenen van een vermenigvuldiging. Eerst verander je de deelsom in een vermenigvuldiging zoals in het volgende voorbeeld.

Je ziet hier dat de cijfersom van de delen niet gelijk is aan de cijfersom van de eerder berekende uitkomst. Dat houdt dus in dat het antwoord niet juist is.

Pas op. Als het uitsluiten van de negens een juist resultaat geeft, kun je toch een foute berekening hebben gemaakt. Als je bijvoorbeeld een fout maakt bij twee cijfers, dan lijkt het of het antwoord juist is. De ‘negentest’ werkt dus niet altijd goed zoals uit het voorbeeld hierna blijkt.

Het juiste antwoord is niet 547, maar 637 (6 + 3 + 7 = 16; 1 + 6 = 7).

Door de negens uit te sluiten vind je ook de fouten niet waarbij bijvoorbeeld de komma op de verkeerde plek staat of waarbij het antwoord een factor goed is, op een macht van 10 na. In Hack 41 leer je de orde van grootte schatten (een ruwe schatting waarbij je het aantal cijfers links van de komma vindt). Met deze hack kun je een aantal fout geplaatste komma’s ondervangen, maar het is nog beter om de 11 uit te sluiten.

Elven uitsluiten. Als je rekent met modulo 11 (de elven uitsluiten), reken je nauwkeuriger dan wanneer je slechts rekent modulo 9. Je achterhaalt op die manier ook fouten die je er eerder met rekenen modulo 9 niet vond. Ook de plaats van de komma kun je zo checken, dus deze manier is erg nuttig als controlesom.

Bij het toepassen van het uitsluiten van de elven bij een geheel getal tel je de cijfers die op de oneven plekken staan bij elkaar op (bijvoorbeeld de enkele en de honderdtallen op plek 1 en 3, je begint rechts). Daarna trek je de cijfers die op de even plaatsen van een getal staan (bijvoorbeeld de tientallen en de duizendtallen, die staan op plek 2 en 4) ervan af.

Als je bijvoorbeeld de 11 uit 5.924 wilt halen, dan krijg je als antwoord 4 + 9 – 2 – 5 = 6.

Als de uitkomst groter is dan 11, dan haal je de elf uit dat getal en ga je daarmee door totdat je een getal hebt dat kleiner is dan 11. Als de uitkomst 0 is of minder, voeg er dan 11 aan toe totdat je een uitkomst hebt die tussen 0 en 11 ligt. En dan ga je weer op dezelfde manier te werk als bij de ‘negentest’.

Het volgende voorbeeld is een extra check van de som uit de vorige paragraaf.

Zo werkt het

Een sluitend wiskundig bewijs, waaruit blijkt dat het uitsluiten van negens-procédé je altijd precies de rest geeft van de deling van dat getal door 9, gaat in het kader van dit boek te ver. Maar we doen wel een beroep op je wiskundige intuïtie.

Bedenk allereerst dat 0 mod 9 is 0, 1 mod 9 is 1, 2 mod 9 is 2, 3 mod 9 is 3 enzovoort. 9 mod 9 is 0, 10 mod 9 is 1, 11 mod 9 is 2 en zo is het cirkeltje weer rond.

Bedenk vervolgens dat 20 mod 9 is 2, 30 mod 9 is 3 enzovoort; ga maar na. Je zult er ook achter komen dat 200 mod 9 is 2, 2.000 mod 9 is 2, 20.000 mod 9 is 2 enzovoort. Het is zo dat elk geheel getal dat vermenigvuldigd wordt met een macht van 10 en dan berekend wordt met modulo 9 dezelfde uitkomst heeft als het oorspronkelijk gehele getal modulo 9.

Omdat (a + b + c) mod 9 hetzelfde is als (a mod 9) + (b mod 9) + (c mod 9), en omdat (bijvoorbeeld) het getal 523 kan worden geschreven als 500 + 20 + 3, doe je door het optellen van de cijfers van 523 (5 + 2 + 3) precies hetzelfde als wanneer je de som berekent van 500 (mod 9), 20 (mod 9) en 3 (mod 9). In beide gevallen bereken je namelijk het getal 523 (mod 9), dat wil zeggen de rest van 523 bij delen door 9.²

Voor de wiskundig onderlegde mind-performance hacker onder ons is het natuurlijk een leuke oefening om te achterhalen waarom het uitsluiten van de 11 zo werkt.

In de praktijk

Controlesommen uit je hoofd maken is het meest zinvol als je ze combineert met andere hacks zoals beschreven in Hack 75. Omdat controlesommen waarbij je de 9 en de 11 gebruikt vrij gemakkelijk te maken zijn, kost het je niet veel extra tijd bij het maken van je berekeningen uit het hoofd, behalve als je een fout maakt. Maar in elk geval ben je er dan toch achter.

Noten

1. Julius, E.H. (1993). Test zelf uw rekenkunst. Utrecht: Het Spectrum.
2. Menninger, K. & Primrose, E.J.F. (vert.) (1961). Calculator’s cunning: the art of quick reckoning. New York (VS): Basic Books.

HACK 39

Gebruik je handen als telraam Je hebt misschien gehoord hoe snel en accuraat berekeningen op een telraam kunnen worden gedaan. Wist je dat het telraam misschien wel gebaseerd is op een oude techniek waarbij alleen handen werden gebruikt? Deze techniek leeft vandaag de dag voort in de Koreaanse techniek van Chisenbop.

Chisenbop is een oude Koreaanse techniek voor berekeningen waarbij gebruik wordt gemaakt van handen. Een klassieker, in het Engels verkrijgbaar, is The complete book of fingermath.1 Helaas is het een duur boek dat gericht is op kinderen en waarin honderden pagina’s gewijd zijn aan het uitleggen van de principes. Principes die een geschoold volwassene in een paar minuten kan leren. Het belangrijkste wat dit boek je kan bieden zijn pagina’s vol oefeningen. Chisenbop moet een motorische vaardigheid worden en niet iets waar je over na moet denken.

In The complete book of fingermath staan ook vele, gedetailleerde posities van de hand en dat is een andere reden waarom het boek zo dik is. Gelukkig geeft Wikipedia een korte, bondige samenvatting van Chisenbop, zie tabel 4.2.²

Ik heb een aantal symbolen toegevoegd aan de lijst, namelijk de ^ en de v (zie tabel 4.2).

 

Teken	Betekenis
-o...	1

Hou je rechterwijsvinger op tafel en leg je rechtermiddelvinger op tafel. Dit staat voor het cijfer 2.

Teken	Betekenis
-oo..	2

De volgende twee vingers staan voor 3 en 4.

Teken	Betekenis
-ooo.	3
-oooo	4

Om 5 te laten zien haal je alle vingers van je rechterhand (behalve je duim) van de tafel en duw je gelijktijdig je duim op tafel. Je duim staat voor de 5.

Teken	Betekenis
v^^^^	Haal je vingers van tafel, duw je duim op tafel
@....	5

Voor de 6, hou je je rechterduim op tafel en duw je je rechterwijsvinger op de tafel (5 + 1 = 6).

Teken	Betekenis
@o...	6

Je kunt tot 9 komen met je rechterhand door de volgende drie vingers van je rechterhand achter elkaar op tafel te drukken.

Teken	Betekenis
@oo..	7
@ooo.	8
@oooo	9

Als je van 10 tot 99 wilt tellen, dan moet je ook je linkerhand gebruiken.

Haal alle vingers van je rechterhand (dus ook je duim) van tafel en leg tegelijkertijd de wijsvinger van je linkerhand op tafel. Dit is 10. Dit is analoog aan de manier waarop je de 1 uitbeeldt met je rechterhand (je duwt dan je rechterwijsvinger op tafel).

Teken	Betekenis
...v- ^^^^^	Haal je rechterhand van tafel, druk met je linkerwijsvinger op tafel
...o- -....	10

Door de vingers van je rechterhand erbij te gebruiken (= 1 tot en met 9) kun je tot 19 tellen.

Teken	Betekenis
...o- -o...	11
...o- -oo..	12
...o- -ooo.	13
...o- -oooo	14
...o- @....	15
...o- @o...	16
...o- @oo..	17
...o- @ooo.	18
...o- @oooo	19

Als je tot 20 wilt tellen, wissel je weer van hand. Haal je rechterhand van tafel en druk de middelvinger van je linkerhand op tafel. (Let op: de wijsvinger van je linkerhand blijft op tafel staan.)

Teken	Betekenis
..vo- ^^^^^	Haal je rechterhand van tafel, druk je middelvinger op tafel
..oo- -....	20

Dit werkt hetzelfde als toen je 2 op je rechterhand liet zien, want 20 = 2 × 10. Tellen met tientallen laat de volgende logische posities zien.

Teken	Betekenis
.ooo- -....	30
oooo- -....	40
....@ -....	50
...o@ -....	60
..oo@ -....	70
.ooo@ -....	80
oooo@ -....	90

En het getal 99 op de Chisenbop-manier ziet er als volgt uit.

Teken	Betekenis
oooo@ @oooo	99

Als je hoger dan 99 wilt tellen, dan moet je een getal onthouden. Dat getal geeft aan hoeveel honderdtallen je moet toevoegen aan je handtelraam, als je klaar bent met de hele berekening. Gelukkig kun je de honderdtallen gewoon voor het getal zetten dat je handen laten zien. Dus als je handen dit laten zien:

Teken	Betekenis
....@ -oo..	52

en het getal in je hoofd is 3, dan heb je tot 352 geteld. Dat kun je als volgt weergeven.

Teken	Betekenis
....@ -oo..	(3)52

Dus als je hoger dan 99 wilt tellen, dan haal je je handen van tafel en zeg je tegen jezelf dat je 100 moet onthouden. Allebei je handen laten niets zien, maar in je hoofd heb je een getal zitten dat een honderdtal voorstelt.

Teken	Betekenis
....- -....	(1)00
....- -o...	(1)01
....- -oo..	(1)02
....- -ooo.	(1)03
....- -oooo	(1)04
....- @....	(1)05

Optellen

Optellen is niet meer dan tellen met grotere sprongen dan 1. Als je bijvoorbeeld 15 + 23 uitbeeldt, dan plaats je je handen in de 15-stand.

Teken	Betekenis
...o- @....	15

Nu duw je twee extra vingers van je linkerhand op tafel die elk 10 voorstellen. Dit betekent dat je er 20 bij optelt.

Teken	Betekenis
.ooo- @....	35

Je bent er bijna. Nu duw je drie rechtervingers op tafel om de 3 van 23 weer te geven.

Teken	Betekenis
.ooo- @ooo.	38

Dus 15 + 23 = 38. Het was misschien gemakkelijker om het op de volgende manier te doen.

Teken	Betekenis
..oo- -ooo.	23
.voo- vooo.	(druk 15 op tafel)
.ooo- @ooo.	38

Aftrekken

Als optellen niet meer is dan tellen met sprongen, dan is aftrekken terugtellen met sprongen. In plaats van je middelste vingers op tafel te duwen en weg te halen, beweeg je je buitenste vingers en leg je ze neer. Het is heel eenvoudig. Je moet alleen even oefenen.

Zo kom je erachter dat 38 – 23 = 15.

Teken	Betekenis
.ooo- @ooo.	38
.^^o- @^^^.	(til 23 op)
...o- @....	15

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen is hetzelfde als een herhaalde optelling. Bijvoorbeeld 3 × 15 = 45 is hetzelfde als 15 + 15 + 15 = 45.

Teken	Betekenis
...o- @....	15
.ooo- -....	30
oooo- @....	45

Het kan handig zijn om tellen in sprongen in je geheugen te prenten door te beginnen met het tellen in stapjes van 2 (2, 4, 6, 8 enzovoort). Je voert dit op totdat je het ook met stapjes van 9 kunt (9, 18, 27, 36 enzovoort) en dan leer je dit uit je hoofd voor stappen met getallen van twee cijfers. Als je wilt dat de Chisenbop een onbewuste motorische vaardigheid wordt, moet je dit oefenen. Anders moet je de hele tijd de tussentijdse resultaten in je hoofd bijhouden. Bijvoorbeeld als je vermenigvuldigt met 15, dan moet je herhaaldelijk 10 erbij optellen en niet vergeten de 5 er ook bij op te tellen. Dat is niet de juiste manier om de Chisenbop te gebruiken. Bovendien is het ook nog eens foutgevoelig.

Bedenk dat als je vermenigvuldigt, je naast de honderdtallen altijd nog een getal moet onthouden. Je moet namelijk weten hoe vaak je het getal waarmee je vermenigvuldigt, hebt toegevoegd. (Probeer niet stiekem het antwoord van je vingers af te lezen.) Als je, zoals bij het vorige voorbeeld, je vingers op tafel zet in de 15-stand, dan zeg je ‘Een!’ Als je er dan 15 bij optelt, zeg je ‘Twee!’ en nog eens 15 erbij, zeg je ‘Drie!’ Nu mag je het resultaat van je vingers af lezen en dat is: 45.

Delen

Als vermenigvuldigen hetzelfde is als herhaaldelijk iets optellen, dan is delen herhaaldelijk aftrekken. Je kunt delen door herhaaldelijk de deler af te trekken totdat het niet meer lukt. Het aantal keren dat je de deler kunt aftrekken is het antwoord. En het getal dat je overhoudt op je vingers is de rest. Je kunt 15 dus drie keer van 45 aftrekken en dan hou je 0 over (dus geen vingers meer op tafel). Je ziet dus dat 45 : 15 = 3, rest 0. Op die manier kun je 15 ook 3 keer van 46 aftrekken. Je wijsvinger blijft dan op tafel liggen en laat zo zien dat 45 : 15 = 3, rest 1.

In de praktijk is het waarschijnlijk gemakkelijker om andersom te werken. Je kunt bijvoorbeeld een getal door 7 delen door de zevens op te tellen tot je bij het deeltal komt. Het aantal zevens in het deeltal is eentje minder dan het getal waar je eindigt. Als je bijvoorbeeld 81 wilt delen door 7, dan tel je dat als volgt: 7 (1), 14 (2), 21 (3), 28 (4), 35 (5), 42 (6), 49 (7), 56 (8), 63 (9), 70 (10), 77 (11), 84 (12). Oeps! Dat zijn 12 zevens en dat zijn er te veel, dus er zijn 11 zevens in 81, met een rest van 4.

Noten

1. Lieberthal, E.M. (1982). The complete book of fingermath. New York: A&W Visual Library.
2. Wikipedia (2005). ‘Chisenbop.’ Online uitgave op http://en.wikipedia.org/wiki/ Chisenbop.

Zie ook

1. Harris, A. ‘Chisenbop Tutorial.’ Online uitgave op http://www.cs.iupui.edu/ ~aharris/chis/chis.html. Op deze pagina van de Purdue University staat een interactieve uitleg over Chisenbop. Via streaming media worden er verschillende lessen aangeboden.

HACK 40

Tot een miljoen tellen op je vingers Gebruik binaire rekenkunde om op je vingers tot meer dan een miljoen te tellen.

Je weet nu waarschijnlijk dat je de Chisenbop-techniek (Hack 39) kunt gebruiken om tot 100 of meer te tellen en eenvoudige sommen op je vingers te maken. Als je echter van het decimale getallenstelsel overstapt op het binaire, dan kun je je vingers gebruiken om tot 220 te tellen. Dat is 1.048.576, meer dan een miljoen!¹

Het binaire getallenstelsel

We kijken eerst eens naar het binaire getallenstelsel. (Als je hier al genoeg van weet, kun je deze paragraaf overslaan.)

Het getallenstelsel dat we normaal gebruiken is het decimale getallenstelsel dat uitgaat van de machten van 10. Bijvoorbeeld:

4309 = (4 × 1000) + (3 × 100) + (0 × 10) + (9 × 1)

In het decimale stelsel zijn er 10 cijfers: de cijfers 0 tot en met 9. Elke positie in een decimaal getal komt overeen met een macht van 10. Bijvoorbeeld in het decimale getal 4.309 staat 3 voor de honderdtallen.

Het binaire getallenstelsel is gebaseerd op machten van 2, dus er zijn slechts twee cijfers: 0 en 1. Deze worden ook wel bits genoemd, wat de afkorting is van binary digit.
Volgens het binaire getallenstelsel is:

10011 = (1 × 16) + (0 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1) = 19

In deze hack zet ik de binaire getallen vet, zodat je weet wanneer ik het over binaire getallen heb en wanneer over gewone, decimale getallen. Als ik dat niet zou doen, zou je niet weten waar een getal als 10011 voor staat, omdat het alleen enen en nullen bevat en zowel binair als decimaal kan zijn.

Omdat hier alleen de 1 en de 0 worden gebruikt, hoef je geen machten van 2 met een getal te vermenigvuldigen. Je telt alleen de posities met de 1 erin bij elkaar op. In het geval van 10011 is dat 16 + 2 + 1 = 19.

Aan de slag

Nu leg ik je uit hoe je binair telt op je vingers. Je gaat ervan uit dat elke vinger voor een bepaald getal staat. Begin met bijvoorbeeld je rechterhand. Je duim is dan 1 waard, je wijsvinger 2, je middelvinger 4, je ringvinger 8 en je pink staat voor 16. Elke vinger kan naar beneden (dan staat het voor 0) of naar boven wijzen (dan staat het voor 1).

Laat eerst al je vingers naar beneden wijzen. In deze houding is elke vinger een 0 en vormen ze samen het getal 0 (00000 = 0). Je kunt elk 5-cijferig binair getal met één hand uitdrukken. Als je bijvoorbeeld 10011 wilt weergeven (dat is gelijk aan 19 in het decimale getallenstelsel), dan doe je dat zoals in de vorige paragraaf werd uitgelegd. Je plaatst je vingers op tafel op de manier zoals in tabel 4.4 en figuur 4.2 staat beschreven.

Wil je er 1 bij optellen, dan kijk je naar de stand van je vingers. De vinger die hoort bij de laagste macht van 2 én die naar beneden wijst til je op. Alle vingers die nog lagere machten van 2 voorstellen leg je op tafel.

Als je bijvoorbeeld 19 neemt zoals in het hiervoor genoemde voorbeeld, dan til je je middelvinger op (staat voor 4) en doe je je wijsvinger en duim naar beneden (de 2 en de 1, want deze zijn kleiner dan 4). Hou je pink en ringvinger op dezelfde plek zoals in tabel 4.5 en figuur 4.3 staat. Deze positie geeft het getal 10100 (16 + 4 = 20) weer.

Als je er nu weer 1 bij optelt, dan til je je duim op (want dat is de vinger die de laagste macht van 2 voorstelt én die naar beneden wijst). Omdat er geen lagere machten van 2 zijn dan je duim, leg je geen vingers naar beneden. Het getal dat je dan uitbeeldt is 10101 (16 + 4+ 1 = 21).

Met één hand kun je getallen tot 11111 (31) uitbeelden. Om tot 1.000 te tellen heb je je andere hand erbij nodig. De duim van je linkerhand staat voor 32, je wijsvinger is 64, je middelvinger 128, je ringvinger 256 en je pink is 512. Op deze manier kun je de getallen tot 1111111111 (1.023) weergeven. Het getal 1.000 is bijvoorbeeld 1111101000 omdat 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8 = 1.000. (Zie ook tabel 4.6 en figuur 4.4.)

Als alternatief kun je ook op de linkerhand het procédé van de rechterhand toepassen, de uitkomst met 32 vermenigvuldigen en dan de rechterhand erbij optellen. Als je bijvoorbeeld met je linkerhand 11111 uitbeeldt, dan is dat 31. 31 × 32 = 992. Tel dan je rechterhand erbij op: 01000 = 8. Daarna doe je 992 + 8 = 1.000.

Op die manier kun je tot 1.024 tellen, maar wil je hoger, dan heb je geen vingers meer over. Waarom zei ik dan in het begin dat je op deze manier tot een miljoen kunt tellen? Omdat je vingers tegelijkertijd verschillende, nieuwe machten van 2 kunnen vormen zoals 1.024 (210) of 2.048 (211) tot het getal 524.288 (219) aan toe. Voor deze machten van 2 staat een gestrekte vinger voor de 0 en een gebogen vinger voor de 1.

Nu je gebogen vingers aan het binaire tellen hebt toegevoegd, kun je nog uitgebreidere berekeningen maken. De regel van het optillen of neerleggen van de vinger die de kleinste macht van 2 voorstelt (zie hiervoor) geldt ook hier. Maar als je nu 1 wilt toevoegen en je hebt al je vingers opgetild (of ze nu recht of gebogen zijn), leg dan al je vingers neer, en buig de rechte vinger die de kleinste macht van 2 voorstelt. Daarna strek je de gebogen vingers die lagere machten van 2 voorstellen.

Ik laat je hier zien hoe je zo 1.000.000 weergeeft.

1.000.000 = 11110100001001000000, omdat 1.000.000 = 2¹⁹ + 2¹⁸ + 2¹⁷ + 2¹⁶ + 2¹⁴ + 2⁹ + 2⁶ = 524.288 + 262.144 + 131.072 + 65.536 + 16.384 + 512 + 64.

Door dit te verdelen in groepjes van 5 (want je hebt 5 vingers), moet je je vingers neerzetten als in tabel 4.7.

Hoe je je vingers houdt als je 1.000.000 (11110100001001000000) uitbeeldt, zie je in tabel 4.8 en 4.9 en in figuur 4.5.

In de praktijk

In plaats van een getal met twee handen weer te geven kun je ook één getal in elke hand vasthouden. Dit kan handig zijn als je de stand bij wilt houden als je een spel met z’n tweeën speelt.

Extra ‘bitrijen’ zijn overal op je lichaam aanwezig. Je kunt bijvoorbeeld ook je polsen bij het tellen gebruiken.

Als je eenmaal het binaire getallenstelsel beheerst, kijk dan of je naast optellen ook kunt aftrekken. (Als je beide kunt, dan is het nog handiger om op deze manier tot 1.000.000 te kunnen tellen.)

Zo werkt het

Een toename is gewoon 1 optellen en bij het binair rekenen werkt het net zoals bij het rekenen met decimale getallen (behalve dan dat het eenvoudiger is omdat er slechts twee getallen worden gebruikt, de 0 en de 1). De eerste berekening in het voorbeeld was 19 + 1 = 20. Dat ziet er als volgt uit:

Je begint met de rechterpositie: 1 + 1 = 2. Dat staat voor 10 in het binaire stelsel. Je schrijft dan de 0 op en onthoudt de 1. (Dit komt overeen met het naar beneden doen van je duim.) Nu ga je naar de tweede positie van rechts: 1 + 1 = 2. Dat staat voor 10 in het binaire stelsel, dus schrijf je weer een 0 op en onthoudt de 1. (Dit komt overeen met het naar beneden doen van je wijsvinger.) Nu ga je naar de derde positie van rechts. Daar staat een 0, en 0 + 1 = 1. (Dit komt overeen met het optillen van je middelvinger.) De andere cijfers veranderen niet en daardoor blijven die vingers in dezelfde positie.

De volgende optelling (20 + 1 = 21) is eenvoudig, omdat je niets hoeft te onthouden.

Dit komt overeen met wat je handen eerder deden. Je tilt alleen je duim op.

De vingerregel (zoek de vinger met de laagste macht van 2 die naar beneden wijst, til die op en doe alle andere vingers die lagere machten van 2 voorstellen naar beneden) komt overeen met het vinden van de rechter 0. Deze verander je in 1 en je vervangt alle 1-en aan de rechterkant door 0-en. Het werkt op die manier, precies zoals je in de eerste optelling kunt zien.

Noten

1. Mentat Wiki. ‘Physio Arithmetics.’ Zie http://www.ludism.org/mentat/Physio- Arithmetics.

HACK 41

De orde van grootte schatten Door een ruwe schatting van de orde van grootte te maken, kun je je berekeningen checken en schatten of taken haalbaar zijn voordat je ze daadwerkelijk in gaat plannen.

Een schatting van de orde van grootte is een schatting gebaseerd op de dichtsbijzijnde macht van 10. Een schatting van de orde van grootte van bijvoorbeeld 400 betekent dat de echte uitkomst eerder dichter bij de 400 ligt dan bij de 40 of 4.000. De schattingen die in deze hack worden besproken, worden ook wel ruwe schattingen van de orde van grootte genoemd, omdat je niet precies weet met welke orde van grootte je van doen hebt.

Andere omschrijvingen zijn een wilde gok of er een gooi naar doen. Deze namen laten zien dat het een triviale, mogelijke of onmogelijke taak kan zijn om te bepalen hoe groot iets is.

Als je een schatting maakt van de tijd die bepaalde taken kosten, zorg dan dat iedereen weet dat het maar een ruwe schatting is. Je schatting moet niet op papier worden gezet als keiharde datum of doel als je echt met de opdracht aan de slag gaat. Daarvoor moet je een zorgvuldigere schatting doen en een projectplan opstellen. Je eerste schatting is om erachter te komen of het zin heeft een uitgebreidere schatting te maken.

Aan de slag

Eerst ga je een puur cijfermatige hack doen. Je gaat schatten hoeveel seconden er in een jaar zitten. Er zijn 60 seconden in een minuut en er zitten 60 minuten in een uur. Die twee getallen vermenigvuldigen is eenvoudig: 3.600 seconden in een uur. Dat rond je af op 4.000. Een afronding van 25 procent lijkt misschien wat veel, maar het gaat hier om de orde van grootte. Zolang het geen 2.500 procent is, zit het wel goed.

Er zitten 24 uur in een dag. Je hebt de seconden in een uur afgerond naar boven, dus we ronden 24 af naar beneden, naar 20. Vermenigvuldig 20 met 4.000. Dan krijg je 80.000 seconden in een dag. Rond dit af naar 100.000.

Er zitten 365 dagen (en nog wat) in een jaar. Dat rond je af naar 400. Je schatting komt dan op 40.000.000 seconden in een jaar (400 dagen keer 100.000 seconden). Omdat je vaker naar boven hebt afgerond dan naar beneden, is dit getal eerder te hoog dan te laag.

Het juiste antwoord, als je uitgaat van 365,2422 dagen per jaar, is 31.556.926 seconden per jaar. Je zit dus aardig in de buurt van de grootte en omdat je drie keer naar boven en één keer naar beneden hebt afgerond, zit je inderdaad te hoog en niet te laag.

Zo werkt het

Als je iets wilt schatten waar je niets van weet, dan is het afronden van getallen handig om de berekening eenvoudiger te maken. Als je een schatting doet en het afrondt, dan weet je als je bijhoudt of je naar beneden of naar boven afrondt, dat je schatting te laag of juist te hoog uitkomt.

Door in een berekening de eerste keer af te ronden naar boven en de volgende keer naar beneden voorkom je dat je schatting veel te hoog of te laag uitkomt. Hoewel het wel afhangt van hoeveel je naar beneden of boven afrondt. Als je de ene keer een groot getal gebruikt en de keer erop een klein, dan is dat niet in verhouding. Toen je de seconden in een dag berekende, heb je 3.600 naar boven afgerond, naar 4.000, en 24 naar beneden, naar 20. Daarna heb je ze vermenigvuldigd en kreeg je 80.000. Het juiste antwoord is 86.400 (3.600 × 24), dus je zat in de buurt. Als je nu beide getallen naar boven had afgerond naar bijvoorbeeld 4.000 × 30, dan had je 120.000 als antwoord gekregen. Dat is uiteraard hoger dan het juiste antwoord, maar het is veel verder verwijderd van 86.400 dan 80.000.

Hetzelfde krijg je als je alles naar beneden afrondt. Als je bijvoorbeeld 3.000 × 20 doet, dan kom je op 60.000 uit en ook dat is verder weg van het juiste antwoord dan 80.000.

Soms wil je het liefst alles naar boven afronden (bijvoorbeeld bij een project) of juist alles naar beneden afronden (als je inschat of iets haalbaar is). Je kunt ook beide doen en de twee uitkomsten als onder- en bovengrens van bijvoorbeeld een project gebruiken. Bij het voorbeeld van het bepalen van de seconden in een jaar weet je dat het aantal seconden in een dag tussen de 60.000 en 120.000 ligt.

In de praktijk

Met een ruwe schatting van de orde van grootte kun je de dagelijkse fouten vinden. Een schatting kan je helpen bij je werk en zelfs bij het zoeken naar een baan als je er geen hebt.

Berekeningen narekenen. Als je iets verkeerd intikt op je rekenmachine, dan krijg je al snel antwoorden die complete onzin zijn. Als je bijvoorbeeld bij het uitrekenen van het aantal seconden in een jaar het volgende invoert:

60 × 60 + 24 × 365

dan krijg je dit:

12.360

Omdat je bij een eerdere schatting had berekend dat het aantal seconden in een jaar 40.000.000 was, weet je dat je iets verkeerd hebt gedaan.

Hoeveelheid werk inschatten. Op mijn werk maak ik vaak gebruik van een ruwe schatting om te bepalen hoeveel tijd een verzoek van een klant kost. Ik schat de taken per week in en voeg ze toe aan de totale tijd. Daarna vergelijk ik ze met de planning van de klant en het budget.

Stel je voor dat iemand aan Ron vraagt om een ander boek over mind performance hacks te schrijven, maar ze willen het wel binnen twee maanden hebben. Lukt hem dat?

Het boek moet 10 hoofdstukken krijgen met in elk hoofdstuk 10 hacks, dus in totaal 100 hacks. (Dat is waarschijnlijk een wat te ruime schatting, maar het is een mooi rond getal.) Sommige hacks zijn gemakkelijker dan andere, maar je kunt zeggen dat elke hack gemiddeld 2 uur onderzoek kost, 2 uur om een eerste versie te schrijven, 1 uur voor het redigeren en 1 uur voor de punten en de komma’s. Het kost hem dus 6 uur om 1 hack te schrijven, dus het hele boek kost hem 600 uur. Als hij daar 40 uur per week aan besteedt, dan heeft hij daar 15 weken voor nodig, wat iets meer is dan 2 maanden. Je kunt dus stellen dat Ron hulp nodig heeft en dan heb je niet eens de tijd meegeteld die het kost om te beslissen welke hacks in het boek komen en welke niet.

Je moet in deze berekening ook meenemen hoe je besluit wie welke hacks schrijft. Hierbij ben je geneigd ruim te schatten, omdat het moeilijk te bepalen is hoeveel tijd je hieraan kwijt bent. Het is veel moeilijker om in te schatten, moeilijker dan bij het schrijven, hoeveel tijd het bedenken van een hack kost. Dit proces vergt mogelijk nog meer tijd, maar er staat een aantal hacks in dit boek waarmee je dit proces kunt versnellen.

Sollicitatiegesprek. Veel softwarebedrijven vinden het leuk om vreemde, onverwachte vragen aan hun sollicitanten te stellen om zo hun creativiteit en manier van denken te testen. Een beroemd voorbeeld is ‘Hoe verplaats je de Mount Everest?’ Laten we aannemen dat je met een hoop vrachtwagens vol aarde een eind komt.

Eerst vraag je je af hoe hoog de Mount Everest is. Als je dat weet, dan kun je dat getal afronden, maar ik heb geen flauw idee. Het is een erg hoge berg, dus waarschijnlijk zo’n 10.000 meter. Want 1.000 is echt te klein en 100.000 is veel te veel.

Volgens de Winkler Prins is Mount Everest 8.848 meter hoog. Dus de schatting van 10.000 meter was niet slecht.

 

Goed, je houdt het hier op 10.000 meter. Mount Everest heeft ongeveer de vorm van een kegel waarvan de gronddiameter twee keer de hoogte is. (Als je naar de vorm van een berg kijkt, dan zie je dat de onderkant vrij breed is.) Dus als je weet wat de formule voor de inhoud van een kegel is, dan ben je er.

Ik ga ervan uit dat je dat niet weet. Het enige wat je je herinnert is de volumeberekening van een kubus, wat de zijde tot de derde macht is (lengte × breedte × hoogte). Als je je een kubus voorstelt die net zo hoog is als de berg, dan ziet deze er ongeveer hetzelfde uit. Voor een ruwe schatting is dat goed genoeg. De inhoud van de kubus is dan 1.000.000.000.000 kubieke meter is (10.0003 =10¹²).

Als je je nog iets meer van geometrie herinnert, weet je dat de inhoud van een kegel (oppervlakte van het grondvlak) × hoogte : 3, en de oppervlakte van het grondvlak π × r² is. Omdat je de diameter van het grondvlak geschat hebt op twee keer de hoogte, dan is de straal (r) van het grondvlak hetzelfde als de hoogte. Als je dit alles samenvoegt, dan krijg je π × hoogte2 × hoogte : 3. En omdat π ongeveer 3 is, wordt de uitkomst weer 1.000.000.000.000 kubieke meter (10.0003 = 10¹²).

Als je dit weet, hoeveel grond kan één vrachtwagen dan afvoeren? Waarschijnlijk een volume van 10 × 5 × 5 meter. (Niet dat vrachtwagens 5 meter breed zijn, maar ze kunnen wel langer zijn dan 10 meter, dus dat compenseert elkaar dan weer.) Dus 1 vrachtauto kan 250 kubieke meter grond afvoeren.

Je hebt dan 1.000.000.000.000 : 250 = 4 miljard vrachtwagens nodig en dat is veel. In dit geval zijn er natuurlijk nog veel meer andere problemen als je de Mount Everest wilt verplaatsen. Wat dacht je bijvoorbeeld van de reactie van de Nepalezen en de Tibetanen?

HACK 42

Wortels schatten Je gaat wortels schatten (en zelfs hogere machtsswortels) door een eenvoudige methode toe te passen.

Het is vaak handig om de wortel van een getal te trekken, vooral als je oppervlakten of afstanden wilt berekenen. Er zijn een paar methodes om wortels op papier te berekenen, waarvan een aantal vrij onbekende. Als je echter alleen je hersenen kunt gebruiken en dus geen papier tot je beschikking hebt, dan kun je alsnog snel een schatting geven die redelijk accuraat is.

Aan de slag

Om de wortel van een getal te schatten begin je met het in groepjes van twee plaatsen van de cijfers van een getal. Je begint bij de decimale komma en gaat dan van rechts naar links. Dus als je bijvoorbeeld de wortel wilt berekenen van 500.000, dan zet je de cijfers zo neer:

50 00 00

Elk cijferpaar staat in feite voor een getal in de uitkomst van de wortel. Het linkercijferpaar (of een enkel cijfer als er een oneven aantal cijfers zit in het oorspronkelijke getal) gebruik je om het linkse (én belangrijkste) cijfer te berekenen van de uitkomst. Je krijgt het antwoord door te bepalen welk hoogste kwadraat bij het getal past en er niet overheen gaat.

Het grootste volkomen kwadraat dat past bij 50 is 49. Het getal 49 is het kwadraat van 7. Dus je weet nu dat de uitkomst van de wortel 7xx is, een 7 met twee cijfers erachter of zevenhonderd en nog iets. Omdat 50 erg dicht bij 49 ligt, kun je aannemen dat het antwoord laag in de 700 ligt. Als het dicht bij het volgende kwadraat had gelegen (dat is 64, 8 in het kwadraat), dan weet je dat het eindresultaat dichter bij 800 ligt. Helaas heb je om het antwoord exact te berekenen pen en papier nodig, maar nu maak je slechts een schatting uit het blote hoofd.

Hoe zit het met getallen die kleiner zijn dan 1? Je kunt in principe dezelfde methode gebruiken. Je maakt van dat getal weer groepjes van 2 cijfers. Je begint bij de decimale komma en gaat nu naar rechts. Het belangrijkste getal dat je krijgt is de uitkomst van de wortel uit het grootste kwadraat dat past in het getal, gevormd door het linkercijferpaar. (Dat kan geen 0 zijn.) Dus als je de wortel wilt berekenen van 0,0038234, voeg je de cijfers op de volgende manier samen:

00 , 00 38 23 40

Elk cijferpaar staat voor één cijfer van het antwoord. De komma blijft op dezelfde plek staan. De grootste wortel die in 38 past is 36, met een wortel van 6. Dus het antwoord is 0,06… Omdat 38 dicht bij 36 ligt, kun je aannemen dat je schatting aardig dicht in de buurt van het antwoord ligt en dat het volgende cijfer laag zal zijn.

Erg grote en erg kleine getallen. In de wetenschap en techniek worden getallen vaak in de wetenschappelijke notatie geschreven, omdat dat een gemakkelijkere manier is om ontzettend grote of kleine getallen weer te geven. Bij de wetenschappelijke notatie worden getallen op bijvoorbeeld de volgende manier geschreven:

a × 10^b

De letter a is 1 of ligt tussen de 1 en de 10 en b is een geheel getal. Bijna alle moderne rekenmachines maken gebruik van de wetenschappelijke notatie om erg grote of erg kleine getallen weer te geven. Meestal wordt de 10 weggelaten en vervangen door de letter E die staat voor ‘exponent’ (bijvoorbeeld 5,2349 E+41). Omdat de exponent aangeeft uit hoeveel cijfers het getal bestaat, kun je op ongeveer dezelfde manier de wortel van een erg groot of erg klein getal trekken.

Als de exponent b een even getal is, is het eenvoudig om een schatting te maken. Je schat de wortel van het a-deel en deelt de exponent door 2. Je hebt bijvoorbeeld 5,8345 × 10⁸². Je ziet dan meteen dat de wortel 2,d × 10⁴¹ is, omdat:

• 4 het grootste kwadraat is dat in 5 past;
• de wortel van 4 is 2;
• het exponent 41 is de helft van 82.

Dit werkt zowel bij positieve als negatieve even exponenten.

Als de exponent b oneven is, vermenigvuldig je het vaste deel a met 10 (de komma verplaats je 1 stap naar rechts) en deel je van het exponentiële deel door 10 ( je vermindert de exponent met 1).

Bijvoorbeeld in plaats van 5,0234 × 10¹⁷, schrijf je 50,234 × 10¹⁶. En dan reken je verder op de manier die hiervoor beschreven werd. Je weet dat het grootste kwadraat dat in 50 past 49 is (7 kwadraat). Van het exponent 17 haal je er 1 af zodat je 16 krijgt en die deel je door 2. Zo zie je dat de uitkomst gelijk is aan:

7,x × 10⁸

Bij een getal met een oneven, negatieve exponent zoals 1,9123 × 10^-43 haal je ook 1 van de exponent af voordat je hem door 2 deelt (–43 wordt dan –44). Omdat 4 kwadraat het dichtst bij 19 komt, wordt het antwoord 4,x × 10^–22.

Hogere machtswortels. Wat doe je nu met derde-, vierde- of hogere machtswortels? Er is een manier waarop je deze kunt bepalen. In plaats van de cijfers in groepjes van twee bij elkaar te zetten om de wortel van een getal te bepalen, zet je nu de cijfers in groepjes van n om zo de n-machtswortel van een getal te bepalen. Als je dus de vierdemachtswortel van 7.324.643.245 wilt berekenen, plaats de cijfers dan in de volgende groepjes:

73 2464 3245

Net als in de vorige berekeningen staat elk groepje voor één cijfer van de oplossing. Het eerste cijfer is het getal dat het dichtst bij de vierdemachtswortel van het getal 73 komt. Omdat er geen gemakkelijke manier is om de vierdemachtswortels te berekenen of uit je hoofd te leren, onthou je dat het slechts een van de negen cijfers kan zijn. Dus via uitproberen kom je erachter dat 2 × 2 × 2 × 2 = 16 en 3 × 3 × 3 × 3 = 81. De laatste combinatie is dus een beetje te groot. Vandaar dat het antwoord rond 2xx zal liggen, een getal ergens hoog in de 200.

In de praktijk

Stel je voor dat je een advertentie ziet van een makelaar waarin een bedrijfspand wordt aangeboden met een opppervlakte van 3.700 vierkante meter. Als je dit getal in paren van twee deelt, dan krijg je:

37 00

Er zijn twee groepjes, dus het antwoord is een getal van twee cijfers. Het grootste kwadraat dat in 37 past is 36, dat is 6 in het kwadraat. En het getal 36 zit erg dicht bij 37, dus dit kantoorpand heeft net zoveel vloeroppervlakte als een vierkant kantoor dat iets groter is dan 60 bij 60 meter.

Er was laatst in het nieuws dat het gat in de ozonlaag boven Antarctica gekrompen was tot 15.540.000 vierkante kilometer. Hoe groot is dit? Als je het getal opdeelt in cijferparen van 2, dan krijg je:

15 54 00 00

Het grootste kwadraat dat in 15 past is 9 (3 × 3), maar je ziet ook dat de wortel van 16 = 4 erg dicht bij 15 ligt. Je kunt dus aannemen dat het gebied boven Antarctica iets minder dan 4.000 bij 4.000 kilometer is, namelijk 3.942 kilometer. Nog een behoorlijk groot gat dus in de ozonlaag!

Als je je het gat als een cirkel voorstelt, is de diameter zo’n 13 procent groter dan de wortel die je zojuist hebt geschat.

 

De afgelopen twee jaar heeft Rijkswaterstaat 16 miljoen kubieke meter zand en grind gewonnen om de kustlijn mee te versterken. Hoeveel pakhuizen zou je daarmee kunnen vullen? Omdat het hier om kubieke meters gaat, verdeel je het getal in groepjes van drie.

16 000 000

De uitkomst is dus drie cijfers groot. De derdemachtswortel van 16 ligt tussen de 8 (2 × 2 × 2) en 27 (3 × 3 × 3), dus het gaat hier om een kubus van ongeveer 250 × 250 × 250 meter.

Zie ook

• Wikipedia. ‘Vierkantswortel.’ Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/vierkantswortel. Dit is een goede samenvatting van de meer traditionele manieren voor het schatten en exact berekenen van wortels, inclusief een exacte methode waar de schattingsmethode op is gebaseerd. Leer hier hoe je een wortel kunt berekenen op papier.
• Doerfler, R.W. (1993). Dead reckoning: calculating without instruments. Houston (VS): Gulf Publishing Company. Dit boek bevat nog meer manieren om wortels te berekenen.

HACK 43

Bereken elke willekeurige dag van de week Bereken snel de dag van de week voor een willekeurige datum op de gregoriaanse kalender. Handig bij het plannen van afspraken en vergaderingen.

De gregoriaanse kalender is onvolmaakt en de tijd die het de aarde kost om eenmaal om de zon te draaien is niet precies één jaar. Zowel de gregoriaanse kalender als het echte jaar bestaat niet uit precies 12 maanden of 52 weken van 7 dagen. Het echte jaar is namelijk (ongeveer!) 365,24237404 dagen lang. Daarom zijn er schrikkeljaren. En daarom hebben de meeste mensen een kalender nodig om erachter te komen op welke dag in de week bijvoorbeeld 24 juni over drie jaar valt.

Maar stel dat je nu je eigen eeuwigdurende kalender in je hoofd had? Dat je met wat oefening in slechts een paar seconden voor elke datum (van eeuwen geleden of juist in de toekomst) kunt berekenen op welke dag in de week deze valt.

Dat kan op de volgende manier.^1,2

Aan de slag

Om een willekeurige dag te berekenen heb je de volgende vier getallen nodig. Deze tel je bij elkaar op en je haalt dan de zevens eruit ( je berekent de modulo 7). In de praktijk kun je gebruikmaken van modulowiskunde om de getallen klein en eenvoudig voor de eindberekening te houden. Dit zijn de getallen die je nodig hebt:

• het jaargetal
• het getal van de maand
• het getal van de dag
• aanpassing

Het jaargetal. Het jaargetal van een jaar zoeken is eenvoudig. Hier volgt de formule waarbij YY staat voor de laatste twee cijfers van een jaartal.

(YY + (YY div 4)) mod 7

Het getal van de maand. Als je het getal van de maand wilt bepalen, moet je het volgende rijtje met sleutelgetallen onthouden. Er zijn er 12 zoals in tabel 4.10 te zien is.

Om dit rijtje getallen te onthouden kun je je favoriete geheugensteuntje gebruiken zoals bijvoorbeeld de Dominic-methode in Hack 6.

Het getal van de dag. Het getal van de dag is gewoon het nummer van de dag in de maand. Dus 1 april is 1, 31 oktober is 31, 15 maart is 15 enzovoort.

Aanpassing. Het vierde getal dat je moet achterhalen is de aanpassing aan het totaal. Het bestaat uit twee delen, namelijk het getal van de eeuw en de aanpassing als een jaar een schrikkeljaar is.

Omdat je waarschijnlijk het vaakst de dag zoekt van een datum in de twintigste of de eenentwintigste eeuw, kun je het grootste deel van tabel 4.11 overslaan en alleen de getallen onthouden van 1900-1999, dat is 0, en 2000-2099, dat is 6.

Een meer precieze methode volgt hierna.

De juliaanse kalender hield op 2 september 1752 in de meeste westerse landen op te bestaan. De gregoriaanse kalender begon op 14 september 1752.

Er werd wat geknoeid met de datum toen deze werd ingevoerd. Legendarisch zijn de verhalen dat er rellen ontstonden over de verloren dagen. En jij dacht dat Y2K voor onrust zorgde?

Om het getal van de eeuw voor een datum op de juliaanse kalender te achterhalen, trek je de eerste twee cijfers van het jaartal (dat is bijvoorbeeld 14 bij 1492) van 18 af, en haal je de zevens eruit (modulo 7).

Om het getal van de eeuw voor een gregoriaanse datum te achterhalen, deel je de eeuw (20e) door 4, je haalt de zevens eruit en trekt de uitkomst af van 3. Daarna vermenigvuldig je de uitkomst met 2. Dan krijg je dus:

20 : 4 5 mod 7 3 – 0 2 × 3	=5 =6 =3 =6

En 6 is inderdaad het getal van de eeuw voor jaartallen tussen 2000 en 2099 zoals in tabel 4.11 staat.

Wat doe je bij een schrikkeljaar? Als de datum in januari of februari van een schrikkeljaar valt, dan trek je 1 van het totaal af.

Elk jaar van de gregoriaanse kalender dat deelbaar is door 4 is een schrikkeljaar, behalve de jaren die ook deelbaar zijn door 100. De enige uitzondering op deze regel zijn jaren die deelbaar zijn door 400. Dit zijn dus wel schrikkeljaren. Zo was 1936 een schrikkeljaar (het is een getal dat deelbaar is door 4) en 1937 was dat niet (want dat is niet deelbaar door 4). De jaren 1800 en 1900 waren geen schrikkeljaren (deelbaar door 100), maar 2000 was dat wel (want dat is deelbaar door 400).

Schrikkeljaren in de juliaanse kalender zijn gewoon alle jaren die deelbaar zijn door 4.

Wat doe je met de uitkomst? Als je alle zevens eruit hebt gehaald (je hebt op de juiste manier mod 7 berekend), dan is de uitkomst een getal tussen de 0 en de 6. Dit getal geeft de dag van de week aan. Zo is zondag een 0 en loopt het getal naarmate de week vordert op naar 6 zoals te zien is in tabel 4.12.

Zo werkt het

Bereken eens op welke dag van de week de eerste wandeling op de maan (21 juli 1969) plaatsvond.

1. Het sleutelgetal voor het jaar is (69 + (69 div 4)) mod 7.
2. 69 div 4 = 17, omdat 69 : 4 = 17 met een rest van 1 (of 17r1).
3. 69 + 17 = 86.
4. Nu haal je de zevens eruit. 86 mod 7 = 2, omdat de vermenigvuldiging van 7 die het dichtst in de buurt komt 84 als uitkomst heeft, en 86 – 84 = 2. Onthou de 2.
5. Het sleutelgetal voor de maand juli is 6 (zie tabel 4.10). Dat getal tel je op bij de uitkomst van de vorige stap: 6 + 2 = 8. Onthou de 8.
6. Het sleutelnummer voor de dag is 21, want dat is de datum waarop de eerste wandeling op de maan plaatsvond: 21 juli. Tel de uitkomst op bij die uit stap 6: 21 + 8 = 29. Onthou de 29.
7. De aanpassing is hier 0, omdat de gebeurtenis tussen 1900 en 1999 plaatsvond en het was niet in januari of februari van een schrikkeljaar, dus 29 + 0 = 29.
8. Als laatste haal je de zevens uit 29. 29 mod 7 = 1. De einduitkomst is 1, dus de eerste maanwandeling vond plaats op een maandag. En als je een kalender raadpleegt, zie je dat het klopt.

Om precies te zijn vond de maanwandeling plaats om 2.39.33 am UTC (de universele standaardtijd). Dat was op een zondagnacht in de Verenigde Staten. Ik weet zeker dat overal ter wereld er de volgende dag op het werk flink over werd gepraat.

Noten

1. Carroll, L. ‘Lewis Carroll’s algorithm for finding the day of the week for any given date.’ Zie http://www.cs.usyd.edu.au/~kev/pp/TUTORIALS/1b/carroll. html.
2. Mentat Wiki. ‘Calendar feat.’ Zie http://www.ludism.org/mentat/Calendar Feat. Hier wordt uitgelegd op welke verschillende manieren je een datum kunt berekenen. Ook worden hier shortcuts gegeven.

Zie ook

• Hack 6 (over de Dominic-methode) maakt gebruikt van een methode om iets te onthouden zoals bijvoorbeeld het getal van de maand in tabel 4.10.
• Als de wereldkalender zou worden gebruikt, dan is elke datum in elk jaar op dezelfde dag. De kalender die het Esperanto onder de kalenders is (Hack 51) is eenvoudig, flexibel en logisch. Maar het is totaal onwaarschijnlijk dat deze ooit wordt ingevoerd. (Zie http://personal.ecu.edu/mccartyr/world-calendar. html.)